Втрати напору по довжині потоку.

При ламінарному режимі руху рідини втрати напору вздовж потоку пояснюють завдяки опору сил внутрішнього тертя, котрі залежать від в’язкості рідини. Вплив сил внутрішнього тертя враховується коефіцієнтом Дарсі .

Тобто, коефіцієнт ламінарного режиму руху залежить тільки від числа Рейнольдса. І не залежить від матеріалу, та стану поверхні.

При турбулентному потоці спостерігають інші явища. Тут діючи сили не мають одноманітності у різних точках живого перерізу. При стінках проявляє себе в’язкість рідини Втрати напору у цьому тонкому шарі з’являються завдяки силам внутрішнього тертя.

У перехідному шарі з’являються , як сили в’язкості так і сили інерції, обумовлені пульсацією швидкості.

В центрі турбулентного потоку, швидкість практично не змінна – і втрати напору визначаються тільки силами інерції.

Визначення реальних втрат напору в трубопроводах

Гідравлічна шорсткість реальних поверхонь.

Втрати енергії вздовж потоку при турбулентному русі не залежать від матеріалу і стану поверхні самого трубопроводу, доти доки існує в’язкий пристінний підшарок, котрий закриває нерівності поверхні.

Висота нерівностей виступів називається − шорсткістю ( ).

Відношення шорсткості до діаметра трубопроводу, називають відносною шорсткістю, а обернену величину - відносною гладкістю.

Еквівалентна шорсткість, при якій втрати питомої енергії на одиницю довжини потоку такі самі, як і при дійсній шорсткості – дозволяють спростити розрахунки.

Залежно від співвідношення в’язкого підшарку і середньою висотою виступів шорсткості ( ) поділяють на гідравлічно гладкі та шорсткі. Тобто якщо товщина в’язкого підшарку більша за абсолютну шорсткість, то такі поверхні називають абсолютно гладкими.

Якщо , то поверхні називають гідравлічно шорсткими. При таких поверхнях відбувається обтікання виступів шорсткості з відривом від них потоку рідини.

Коли такі поверхні називають шорсткими у перехідній зоні.

При подальшому збільшенні числа Рейнольдса товщина в’язкого підшарку зменшується і останній не чинить впливу на опір, бо рух рідини відбувається повністю по шорсткій поверхні. Тоді втрати на тертя не залежать від числа Рейнольдса, тобто настає повністю розвинений турбулентний рух.

З цього видно що одна й та сама поверхня може бути, як гідравлічно гладкою, так і гідравлічно шорсткою – і залежить це від значення числа Рейнольдса. Величина шорсткості приймається з відповідної літератури.

Визначення коефіцієнтів опору тертя.

Графік І. Нікурадзе.

Розрахунки втрат напору при турбулентному русі рідини залежать від того наскільки правильно визначений коефіцієнт тертя по довжині( ). Але через складність турбулентної течії дуже важко визначити шорсткість труб по довжині і тому немає загального теоретичного методу визначення для труб з різною шорсткістю, при різному ступіні турбулентності потоку. Тому знання осереднених швидкостей у живому перерізі потоку, дозволяє перейти до визначення втрат на тертя, які пропорційні квадрату швидкості для розвиненого турбулентного потоку. При цьому відношення зручно уявити у частках швидкісного напору ;

де k_T – коефіцієнт пропорційності.

Врахувавши (4.22), записуємо:

і

Порівнявши між собою праві частини попередніх рівнянь отримаємо:

Rі = , або і = .

Але тому, що і = h_l /l, а R = d /4, то

h_l =

Замінивши 4k_T на гідравлічний коефіцієнт тертя отримаємо:

h_l = (4.47)

Отримана формула за структурою однакова з (4.38) для ламінарного руху, яка дозволяє визначити втрати напору при відомих значеннях . Коефіцієнт тертя визначається за імперичними формулами, в залежності від структури турбулентного потоку. Що ускладнює вибір дійсного значення для кожного конкретного випадку.

І. Нікурадзе у 1933р. провів дослідження визначення опорів у гладких та шорстких трубах різного діаметру. Гладкість поверхонь досягалась шліфуванням, а шорсткість наклеюванням каліброваних піщинок, котрі в свою чергу, створювали рівномірну шорсткість внутрішньої поверхні труби.

У трубах використовуваних на виробництві шорсткість має іншу форму, тому шорсткість досліджувану Нікурадзе можна назвати еквівалентною . Виходячи з дослідів Нікурадзе побудував графік .

Проведемо аналіз графіка Нікурадзе. Вдовж вісі абсцис прокладемо числа Рейнольдса у логарифмічному масштабі для більшого діапазону Re і детальнішої подачі області де Re < 10⁴ що характерно для ламінарного руху. Графік вказує на фіксовані залежності значень шорсткості .

Також аналіз графіка вказує на те, що його можна розбити на зони ламінарного (1), перехідного (2), і турбулентного (3) режимів руху.

В зоні ламінарного руху не залежить від шорсткості і є функцією числа Re та визначається при круглих трубах залежністю:

.

(2) зона відноситься до відносно гладких труб, де товщина пограничного шару, не набагато більша за величину середньої шорсткості. Коефіцієнти опорів тертя групуються біля прямої Блазіуса, яка виводить дослідні данні із зони турбулентного руху ( штрихова частина лінії 1)

(3) зона руху рідини є повністю турбулентною. В свою чергу вона поділяється теж на три області

В першій зоні коефіцієнт не залежить від відносної шорсткості і всі лінії графіка, які відповідають різним значенням зливаються в одну. Ця область, є областю гідравлічно гладких труб, де визначається в залежності від числа Рейнольдса за формулами:

Блазіуса

Нікурадзе: (4.48)

Конакова

Філоненка

Два останні рівняння дають близьки між собою значення .

Врахувавши те, що Re = vd/v, а також залежності (4.47), тоді з рівняння (4.48) переконуємося в тому, що втрати напору по довжині в цій області пропорційні швидкості в степені 1,75;

h_l =

де k_гл – коефіцієнт пропорційності для гідравлічно гладких труб.

В другій зоні коефіцієнт залежить від Re і , тобто чим більша швидкість, тим більше значення і втрат напору. Тому при однакових значеннях Re для труб зрізною шорсткістю значення не залишається однаковою. В цій області спрацьовують такі залежності:

Альштуля

Кольбрука (4.49)

Френкеля

Формули (4.49) для гладких труб , перетворюється на формулу Блазіуса (4.48). При високих ступінях турбулентності (4.49) перетворюється на формулу Шифринсона (4.50) такий ефект викликає те, що Re .

У цій області, залежність втрат напору, від швидкості знаходиться у певному ступеневому інтервалі: . Тому цю перехідну область, називають областю до квадратичного опору гідравлічно шорстких труб.

При знаходженні області гідравлічного опору, і правильного вибору розрахункового рівняння для визначення , необхідно звернути увагу на такі показники:

• при Re , буде зона гідравлічно гладких труб.

• при Re це буде зона квадратичного опору гідравлічно шорстких труб.

• при 20 < Re < 500, тоді це область перехідна, чи область до квадратичного опору гідравлічно шорстких труб.

В третій області коефіцієнт не залежить від числа Re, а залежить тільки від відносної шорсткості . Тут лінії графіка , паралельні вісі абсцис. Це область гідравлічно шорстких труб, для якої коефіцієнт визначається в залежності від матеріалу і стану його поверхні за допомогою формул:

Шифринсона

Прандтля (4.50)

Місцеві гідравлічні опори.

Вище розглянуті гідравлічні опори пов’язані з явищем тертя рідини. Але під час течії рідина долає опори які виникають при зміні форми потоку, напрямку або режиму руху.

Опори, що виникають при різко змінному русі, викликані зміною конфігурації живого перерізу, напрямком течії та швидкості, з’єднанням чи роз’єднанням потоків, називають місцевими.

Втрати напору на місцевих опорах.

Розглянувши рух рідини, наприклад при різкому розширенні, отримаємо складну картину проходження характерну для будь яких місцевих опорів.

Потік рідини не відразу заповнює трубопровід великого діаметру, а на певній відстані. У просторі між струменем і стінками труби великого діаметру спочатку перебуває повітря. Але воно швидко виноситься струменем і тоді на цій ділянці утворюється вакуум. У результаті чого з транзитного потоку зриваються частинки рідини, і заповнюють простір де раніше було повітря. З одного боку поверхні розподілу АВ будуть великі швидкості, а з іншого, в застійній зоні, навпаки малі. Тому на ділянці між перерізами 1 і 2 між несучим струменем і стінками труби утворюються вихори, в результаті не стійкості і подальшого розпаду поверхні АВ. Вихори у свою чергу теж не мають стійкості і розпадаються на ще менші.

На утворення вихорів тратиться частина рідини несучого струменя і частина із застійної зони. Збільшення втрат напору відбувається не тільки завдяки утворенню вихрів на поверхні розділу, але й завдяки великій силі тертя на поверхні (великому градієнту швидкості).

Тобто, розширення потоку на ділянці між перерізами 1 і 2 відбувається за рахунок сил тертя між транзитним шаром і застійною зоною, та за рахунок сил тертя в застійній зоні, і у середині транзитного шару.

Для зменшення опорів, переходи між трубами різного діаметру здійснюють за допомогою, дифузорі чи конфузорів. Але ж і на цих переходах теж існують місцеві опори.

Дифузор Конфузор

У дифузорі (переріз 2) відповідно до рівняння Бернуллі тиск буде більшим, ніж у перерізі 1. Проте рідина із перерізу з меншим тиском рухається до перерізу з більшим тиском. Це відбувається завдяки кінетичній енергії.

Виходячи із закону розподілу швидкості у живому перерізі, біля стінок швидкість дорівнює нулю, відповідно і найменшу кінетичну енергію мають і частинки, що знаходяться біля стінок. Саме ці частинки не можуть подолати зростання тиску в дифузорі, вони зупиняються і починають рухатись у зворотному напрямку. При цьому у потоці з’являються вихори і настає відрив потоку від стінок дифузора (таке явище виникає при куті ). І чим більше кут, тим інтенсивніше цей процес. Джерелом втрат енергії у дифузорі, є робота сил внутрішнього тертя у вихорах і потоці.

У конфузорах відбувається навпаки зростання швидкості і зменшення тиску. При цьому розподіл швидкостей у перерізі 2 більш рівномірний, ніж у перерізі 1. Утворення вихорів у конфузорах не спостерігається, оскільки для цього немає причин.

При русі рідини у зігнутій трубі, зміна напрямку швидкості призводить до того, що рідина яка рухається у центрі труби маючи найбільшу швидкість, продовжує рухатись за інерцією прямолінійно, але на частинки котрі рухаються по викривлених траєкторіях діють відцентрові сили. При цьому додатковий тиск викликаний відцентровими силами може бути як додатнім, так і від’ємним. Це залежить від напрямку випуклості струминок.

Розподіл швидкостей у живому перерізі нерівномірний і тому відцентрова сила інерції на осі буде більшою ніж на периферії. Під дією відцентрових сил у різних шарах частинки рідини будуть рухатись у поперечному напрямку, утворюючи вторинні течії. У круглій трубі потік роздвоюється і утворює парний вихор. Втрати енергії на ділянці такого руху, через значне подовження шляху що проходять частинки, буде більшим, ніж на відповідній ділянці однакової довжини при прямолінійному рівномірному русі. Причиною котра обумовлює втрати енергії буде протидія сил тертя.

Раптове розширення потоку.

Теорема Борда.

Розглянемо випадок, руху рідини із труби меншого діаметра d₁ до труби більшого діаметра d₂ . Середня швидкість до розширення дорівнює v₁ , після розширення рідина буде намагатись зберігати ту саму швидкість. Але площа перерізу F₂ буде значно більшою ніж площа F₁, тому швидкість v₂ буде значно меншою за v₁. Як наслідок на певній ділянці l відбувається вирівнювання швидкостей, або перехід v₁ до v₂. Потік рідини, змінюючи свій переріз від F₁ до F₂ приймає на себе опір рідини яка знаходиться у клиновидному об’ємі aADCBb. Ця частина перерізу не бере участі в загальному русі рідини, тому на площині aDCb від поступального руху виникає тертя частинок, які намагаються привести в рух найближчі частинки не рухомого об’єму. При цьому в останньому виникають вихрові течії, які повільно затухають при наближенні до стінок.

Припустимо що водоворотні течії приводять до гальмівної дії цього об’єму на поступальний рух потоку і є джерелом втрат напору в місцевому опорі при раптовому розширенні потоку.

Позначимо сили тиску в центрах тяжіння перерізів 1 і 2 відповідно через Р₁ і Р₂ вибравши другий переріз там де потік повністю заповнив трубу. Відлік координат будемо вести від О – О.

Зі схеми потоку видно, що в межах дії вихорів, де формується потік, елементарні струминки паралельні між собою. Тому врахувавши це, складемо рівняння Бернуллі для перерізів 1 і 2, де елементарні струминки набувають паралельності в русі.

,

де h_r – загальні втрати напору при раптовому розширенні потоку, включаючи втрати на зовнішнє тертя частинок рідини по довжині l , або стінки труби, вздовж якої рухається потік. Але довжина має невеликі розміри і тому втратами по довжині знехтуємо. Тоді втрати напору h_r визначають тільки ту їх частину, яка викликана розширенням струменя, тобто величиною:

, (4.51)

де , а різницю двочленів у дужках, виражаємо через середні швидкості у перерізах.

Розглянемо елемент перерізу 1 – 2 , який за час d_t перейде в положення 1¹ і 2¹. Тоді об’єм рідини між перерізами 1 – 1¹ і 2 – 2¹ згідно із законом сталості витрат, рівні між собою. Для об’єму 1 – 1¹ теорему про зміну кількості руху, згідно з якою проекція кількості прирощеного руху маси даного елемента за проміжок часу d_t на напрямок руху повинна дорівнювати проекції імпульсу руху всіх сил, що діють на цей же елемент у той же проміжок часу:

, (4.52)

де - приріст кількості руху елемента маси за час d_t; - сума імпульсів усіх сил, діючих на елемент маси за той самий проміжок часу.

Запишемо приріст кількості руху за час d_t, як:

враховуючи те, що і , знаходимо:

Виходячи з закону не розривності потоку , знаходимо . Тоді загальний приріст кількості руху рідини системи становить:

(4.53)

Тепер визначимо суму імпульсів усіх сил , що діють на ту саму систему за час d_t. На виділений об’єм рідини діють сили, проекції імпульсів яких на напрямок руху визначимо так. Гідродинамічний тиск у трубі меншого перерізу в момент виходу рідини у трубу більшого перерізу позначимо через р₁. Тоді повна сила тиску в цьому перерізі буде P₁ = p₁F₁.

З певною похибкою у явімо, що гідродинамічний тиск у всьому початковому перерізі АВ потоку, після розширення труби до перерізу F₂, включаючи і переріз F₁, розподіляється за гідростатичним законом. Тоді сила гідростатичного тиску в початковому прерізі АВ об’єму 1 – 2 буде Р₁= р₁F₂, а відповідний імпульс за час d_t визначається величиною

P₁d_t = p₁F₂d_t

Гідродинамічний тиск у кінцевому перерізі 2 позначаємо через р₂. Повна сила тиску в цьому перерізі буде Р₂ = р₂F_2. Ця сила діє по довжині вісі потоку проти напрямку руху, як наслідок проекція імпульсу цієї сили на напрямок руху буде від’ємною.

Сила тяжіння G рідини, яка знаходиться в об’ємі 1¹-2¹, визначається величиною , а її проекція на напрямок руху:

, тому, що .

Сумарну проекцію на напрямок руху імпульсів усіх сил, що діють на виділений об’єм 1¹ – 2¹ за час d_t запишемо так:

(4.54)

Прирівнявши залежності (4.52) і (4.54), Врахувавши при цьому (4.53), знайдемо:

Поділивши отриманий вираз на матимемо:

(4.55)

Різницю двочленів, що знаходяться в правій частині рівняння (4.51), замінимо рівним цій різниці виразом із рівняння (4.55):

(4.56)

Цей вираз отриманий Бордом у 1776 р. і отримала назву на його ім’я. І формулюють її так: - втрати напору при раптовому розширенні трубопроводу дорівнюють швидкісному напору за втраченою швидкістю.

Результати розрахунків за формулою Борда при турбулентному русі рідини Re>3500, підтверджені дослідними даними. При Re >3500, а особливо при ламінарному русі, тиск і розподіл швидкостей у перерізі 1, не можна приймати рівномірними, оскільки будуть порушені умови розрахунку формули (4.56).

Для практичного використання формулу Борда записують в дещо іншій формі. Якщо винести за дужки , тоді:

коли винести за дужки , отримаємо:

Враховуючи рівняння нерозривності потоку, останні два рівняння набувають вигляду:

чи

Через лінійні розміри трубопроводів (їх діаметри):

, чи

Позначивши співмножники в дужках через і , відповідно, тоді формула Борда набуває вигляду формули Вейсбаха, тобто:

, чи (4.57)

Де коефіцієнт , залежить від того, за якими швидкісними напорами розраховується значення h_r, але результати розрахунків будуть однаковими.