Умови застосування рівняння Бернуллі.

Рівняння Бернуллі широко застосовується в лабораторній і інженерній практиці при вирішенні і розгляді гідромеханічних задач : розрахунках напірних трубопроводів, насосних станцій, гідравлічних машин, центрифуг, сепараторів тощо.

При розв’язанні практичних задач треба враховувати такі вимоги.

1 Рівняння Бернуллі застосовується тільки для усталеного чи плавно змінного руху ідеальної або реальної рідини. Також його застосовують для розрізів з паралельно струменистим чи плавно змінними рухами рухом, у той час коли між ними може існувати різко змінний рух.

2. Рівняння складається для живих розрізів, нормальних до напрямку швидкостей. Ці розрізи розташовують на прямолінійних ділянках потоку.

3. Один з розрахункових розрізів треб обирати там, де необхідно визначити тиск, геометричний напір Чи швидкість, інший там де ці параметри відомі.

4. Нумерація розрахункових розрізів, проводиться таким чином, щоб рідина рухалась від 1 до 2 розрізу. У протилежному випадку змінюють знак загальних витрат напору .

5.Порівняльна площина повинна бути горизонтальною. Геометрична висота z – вища порівняльної площини вважається додатною, а нижча - від’ємною.

6. Якщо рівняння має кілька невідомих швидкостей, то до нього необхідно дописати стільки рівнянь нерозривності потоку, скільки невідомих швидкостей. Після цього всі швидкості виражають через одну, яка виходить у кінцеве рівняння Бернуллі.

Розкриття змісту рівняння д. Бернуллі.

Геометричне тлумачення, див.( мал.). У рівняння Бернуллі входять наступні лінійні

величини: z - геометрична висота положення чи геометричний напір, це відстань від довільно проведеної горизонтальної порівняльної площини О –О до центру живого перерізу потоку ; - п’єзометрична висота, яка відповідає гідростатичному тиску р ; сума - називається п’єзометричним напором ; - швидкісний напір;

сума - називається гідравлічним чи повним напором, який записується рівнянням;

, а , де - витрати напору на подолання опорів.

Для ідеальної рідини, лінія С – С має бути горизонтальною, згідно з (3.24). Для реальної ж, за рахунок втрат напору h_w вона постійно прямує до низу.

П’єзометричні напори дають лінію А – А . Рівень якої по довжині може змінюватися в залежності від швидкості руху рідини. Тобто якщо швидкість потоку збільшується, рівень відповідно стане нижчим, швидкість потоку зменшується, рівень підвищується.

Провівши лінію поверхні рідини В –В при Н = const, паралельну порівняльній площині О – О, отримуємо лінію наявного напору.

Енергетичне тлумачення. Рівняння Бернуллі виражає собою закон збереження енергії, котрий формулюється таким чином : енергія не виникає і не зникає, а перетворюється з однієї форми в іншу, і якщо в одному місці вона з зменшується або збільшується, то в іншому на стільки ж вона збільшується або зменшується. Виходячи з цього тлумачення, для замкненої системи, енергія є незмінною, сталою величиною.

Рівняння Бернуллі, включає всі види енергії віднесені до одиниці маси рідини і розрахованої відносно горизонтальної порівняльної площини. Така питома енергія набуває вигляду :

у виразі - тут z – питома потенційна енергія положення, - питома потенційна енергія тиску, - питома кінетична енергія потоку, h_w – втрати напору на подолання гідравлічних опорів. Всі ці показники є, не що інше як дисипація енергії Е_ДИС. Це означає, що пі час руху рідини частина механічної енергії перетворюється в теплову, яка для потоку втрачається. При цьому загальна енергія замкненої системи залишається сталою величиною.

Гідравлічний та п’єзометричний уклони.

Зміна напору на одиницю довжини називається гідравлічним уклоном ( і_d). Виходячи з того, що зміна гідродинамічного напору викликана втратами на подолання опорів h_w, то виходячи з (3.34) середній гідравлічний уклон між розрізами 1 і 2 виражено залежністю : (3.35)

При нерівномірній зміні напору вводиться поняття гідравлічного уклону розглядуваного розрізу потоку :

(3.36).

Це диференційне рівняння використовують при дослідженні усталеного руху.

Зміна положення точок п’єзометричної лінії на одиницю довжини потоку, називається п’єзометричним уклоном. Середній п’єзометричний уклон виражаємо таким чином :

( 3.37).

Для потоку рідини у горизонтальній трубі, коли z₁ = z₂, (3.37) набуває вигляду :

чи

(3.38)

Тобто зменшення п’єзометричного напору відповідає втраченому напору на даній ділянці потоку.

Практичне використання рівняння Бернуллі.

Принцип дії багатьох приладів базується на використанні рівняння Бернуллі. Найбільше практичне застосування отримали прилади для вимірювання швидкості і витрати рідини.

Гідродинамічні труби Піто (Піто – Прандтля ). Виміряти швидкість руху рідини можна за допомогою трубок Піто, гідродинамічної, яка розміщена в середині потоку рідини зігнутим кінцем на зустріч потоку, і п^’єзометра якій показує надлишковий тиск у певній точці потоку рідини. Якщо рідина не рухається, то рівні в трубках будуть однаковими і показуватимуть статичний напір. Підчас руху рідини, рівень у п^’єзометричній трубці залишається майже незмінним, а у трубці що показує гідродинамічні характеристики, підвищиться на величину швидкості напору , який діє на торець трубки зігнутої на зустріч потоку.

Але у точці в швидкість рідини U₂ дорівнює нулю, бо рідина в середині трубки не рухається. У наслідок цього виконується умова z₁= z₂ ( порівняльна площина проходить. через центр тяжіння перерізу живого потоку і для горизонтальної труби збігається з точками а і в ) і U₂= 0. У результаті чого виходить :

Виходячи з цієї формули видно, що

(3.38)

де ( р₂- р₁)/ - різниця висот рівнів у гідродинамічній і п^’єзометричній трубках.

Дійсна ж швидкість у розглядуваній точці, буде трохи відрізнятися від розрахункової, тому що при обтіканні трубки рідина змінює структуру потоку. Тому дійсна швидкість визначається за скорегованим рівнянням :

де - тарувальний коефіцієнт який визначається дослідним шляхом.

Для трубок промислового виробництва - 1,0…1,04.

Витратомір Вентурі .Витратомір складається з дво конусного патрубка, який спочатку звужується до певного діаметра, а потім розширюється і включається в робочий трубопровід діаметром D по якому тече рідина. У конфузорі швидкість збільшується, досягаючи максимального значення у циліндричній частині діаметром d , а тиск зменшується порівняно з основною трубою, тобто відбувається перетворення потенціальної енергії тиску у кінетичну енергію швидкості.

Далі рідина рухається по плавно змінному дифузору витратоміра, досягаючи діаметра D .

При цьому відбувається зворотне перетворення кінетичної енергії у потенціальну. При однаковому діаметрі трубопроводу до і після витратоміра, середні швидкості рідини будуть однаковими – v₁. Якщо поставити в розрізах D i d п^’єзометри визначимо різницю їх показників тобто середню швидкість v₂ у вузькому перерізі витратоміра, а після і витрати Q.

Для визначення v₂ запишемо рівняння Бернуллі розрізів 1-1; 2-2, з порівняльною площиною О – О по осі горизонтальної труби,

Витрати енергії нехтуємо у зв^’язку з плавним звуженням між розрізами z₁- z_2, для горизонтальної труби, . За цих умов :

або

(3.39)

Згідно з законом нерозривності потоку відношення швидкостей можна замінити відношенням площ живих розрізів , яке для даного витратоміра є величиною сталою.

Значення швидкості v₁ у рівнянні (3.39) замінимо витратами з рівняння , тоді

, звідки:

Для витратоміра з фіксованим значенням D і d величина , має постійне значення і називається постійною витратоміра, тоді: чи (3.40)

Фактичні витрати менші теоретичних і визначаються залежністю: ,

де - тарувальний коефіцієнт, значення якого приймають у межах

Витратомірна діафрагма. Найпростішим пристроєм для вимірювання витрат є діафрагма, що монтується між фланцями трубопроводу. Для зменшення втрат енергії при проходженні рідини через отвір діафрагми, останній виконується з гострими краями.

Для отримання розрахункових рівнянь введемо такі позначення : F і D – площа живого перерізу і діаметр труби, f_от і d_от живий переріз отвору і діаметр отвору діафрагми, f_ст і d_ст – стислий переріз і діаметр за межами отвору діафрагми, - середня швидкість у трубі до діафрагми, v₂ і v_ст – середня швидкість у отворі і у стислому перерізі за діафрагмою.

Для визначення витрати рідини, що проходить через діафрагму використаємо рівняння Бернуллі для розрізів 1 – 1 ( труба з площею F ) і 2 -2 ( стислий переріз струменя рідини).

Стислий переріз менший за отвір на величину коефіцієнта стиснення , тоді . Порівняльна площина О – О проходить через центри тяжіння живого перерізу F і f_cт. Виходячи з цих умов рівняння Бернуллі набуває вигляду:

У цьому рівнянні де - коефіцієнт місцевого опору.

Тоді :

Виходячи із рівняння нерозривності потоку витрати дорівнюють , тоді де - відношення площі отвору до площі живого перерізу труби. У такому разі

звідки , а витрати будуть:

Після перетворення виразу, отримаємо : або де - теоретичний коефіцієнт витрат діафрагми :

а - стала діафрагми.

Теоретично визначити сталу діафрагми не можливо через неможливість урахування всіх факторів, від яких залежить теоретичний коефіцієнт витрат діафрагми. Тому дійсні значення С_Д і для діафрагм визначають дослідним шляхом.

Розділ 4

Основи теорії подібності .

Ламінарний і турбулентний

режими руху рідини.

Режими руху в’язкої рідини.

Досліди О. Рейнольдса.

У своїй науковій праці Д. І , Менделєєв «Про опір рідини і повітроплавання» ( 1880 р.), вказав на дуже важливу деталь, яка є основою сучасної гідравліки: Безумовно, що у дослідах виконаних з тонкими капілярними трубами, де тертя виявляється майже пропорційним першій степені швидкості, а в широких трубах майже квадрату швидкості. Тобто Д. І . Менделєєв передбачив наявн6ість двох режимів руху рідини.

Повне, або експериментальне дослідження виконав англійський вчений - фізик О. Рейнольдс. Результати його роботи були опубліковані вперше у 1883 р.

Конструкція дослідної установки Рейнольдса, дійшла до нашого часу не змінившись.

Для візуального спостереження режимів руху рідини, установка складена з бака 1, в якому завдяки переливному отвору 2, утримується постійний рівень рідини для забезпечення усталеного руху, скляної труби постійного діаметра 3, з вентилем для регулювання витрат рідини 4, яка потрапляє в трубу через плавно виконаний вхід у вигляді конусу. Над посудиною встановлено посудину 5, в яку залито фарбник і приєднано капілярну трубу котра встановлена в центрі конусоподібного входу скляної труби. Витрата фарбника регулюється за допомогою вентиля 6. Загальні витрати вимірюють мірним баком 7. Окрім цього використовується термометр 8, за допомогою якого визначають температуру рідини, від якої залежить її в’язкість.

При незначному відкритті вентиля 4-по скляній трубі 3 почне рухатись рідина з середньою швидкістю відповідною витратам. Відкривши вентиль 6 – фарбник з посудини 5 через капіляр потрапляє у трубу 3. За таких умов по трубі 3 буде рухатись прямолінійна забарвлена струминка (рис. а)

Якщо ми будемо переміщати капілярну трубку по радіусу скляної труби, змінюватиметься положення струминки, але характер її руху залишатиметься. Такий рух називатиметься струминним, або ламінарним ( від латинського ламіна – шар)

Коли більше відкрити вентиль 4, тобто збільшити середню швидкість, струминка набуває хвилястої форми,

(рис. б). При збільшенні швидкості, хвиляста лінія починає розриватися (рис. в).

Повне відкриття вентилю 4 призводить до того що барвник зафарбовує всю площу труби якою рухається рідина і сам рух стає неупорядкованим – такий рух називається турбулентним.(рис. г)

Лабораторна установка Рейнольдса дозволяє візуально спостерігати режими руху рідини. Але для практичного вирішення задач, пов’язаних з режимами руху рідини більшого значення набуває поняття під назвою чисел Рейнольдса.. Яке в свою чергу, ґрунтується на теорії подібності.