Види руху рідини.

Неусталений рух рідини. Розглянувши рівняння (3.3), стає зрозумілим що воно характеризує неусталений рух ідеальної рідини. Для реальної ж треба доповнювати систему залежністю від тиску.

Р = Р(x,y,z,t), (3.11)

де Р – гідродинамічний тиск у точці з компонентами швидкості U_x, U_y, U_z. Тільки тепер рівняння (3.3) буде характеризувати неусталений рух реальної рідини.

Розглянувши схематично такий рух: з’ясовуємо, що неусталений рух характеризується постійною зміною швидкості і тиску в точках простору, заповнених потоком рідини і несталістю траєкторій проходження частинок рідини, з однаковими початковими координатами.

Тобто коли у деякий час t₁ частинка рідини знаходиться в точці А простору заповненого рухомою рідиною. Тоді точка А набуває швидкості U_A1 i тиску P_А1. Через певний час , у момент часу t₂ = t₁ + , частинка рідини досягає точки В рідинного простору, та набуває швидкості U_B1 і тиску Р_В1. Але у момент часу t₂ у точці А буде знаходитись інша частинка рідини і її швидкість U_A2 і тиск Р_А2 зміняться тому що часова координата змінилася. Під дією іншої швидкості чи тиску, частинка прибула у точку А в момент часу t₂ піде іншим шляхом, і через проміжок часу досягне точки С а не В.

Прикладом неусталеного руху рідини буде рух рідини в трубах зі змінною витратою, рух в річках підчас паводка і т.д.

Усталений рух. Під час усталеного руху миттєва швидкість і тиск у довільній точці простору, заповненого рухомою рідиною, залишаються постійними в часі. Якщо у деякий момент часу t₁ частинка рідини пройшла через точку А, iз швидкістю U_A1 і тиском Р_A1 , то через час t ця частинка, описавши деяку траєкторію , досягне точки В, і матиме швидкість U_B1 і тиск Р_В1.

Згідно з визначенням усталеного руху, рівняння (3.3) переходить у (3.4), яке для залежності реальної рідини, необхідно доповнити залежністю від тиску: р = р(x,y,z.) (3.12)

З рівняння (3.4) доповненого (3.12) видно, що швидкість і тиск змінюються тільки із міною просторових координат розглянутих точок.

Це означає, що якщо у певний момент часу t₂= t₁ + наступна частинка рідини пройде через точку А, то вона буде мати таку саму швидкість U_A1 і тиск Р_А1, як і попередня частинка рідини. Нова частинка піде по тому ж шляху АВ маючи у точці В ту ж швидкість і тиск Р це показує що зберігаються умови стаціонарності процесу, і вказує на те що при усталеному русі лінії течії співпадають з траєкторіями.

Прикладом такого руху служить рух рідини по трубопроводу з постійними витратами, фільтрація води через земляні дамби, витікання рідини через отвір в посудині при сталому напорі.

Рівномірний рух рідини. Усталений рух називається рівномірним, якщо значення швидкостей у відповідних точках довільних живих перерізів будуть однакові.

Приклад , рух рідини у руслі каналу постійного живого перерізу буде рівномірним.

Нерівномірний рух рідини.Рух рідини називається нерівномірним, якщо значення швидкостей у відповідних точках живих перерізів змінюються по довжині потоку, тобто якщо перерізи потоку будуть змінюватись по довжині або якщо витрати будуть збільшуватися чи зменшуватися завдяки, припливу чи відпливу збоку, по шляху русла.

Прикладом служитиме витікання рідини через конічнозбіжний або конічнорозбіжний насадок.

Плавно – змінний рух рідини. Плавно – змінний рух відноситься до нерівномірного руху, тому, що середня швидкість потоку хоч і незначно, але змінюється по довжині. При плавно – змінному русі кривизна струминок повинна бути незначною, що дозволяє використовувати різні розрахунки, нехтуючи значення відцентрових сил.

Основні рівняння гідродинаміки.

Диференціальне рівняння руху ідеальної рідини

Л. Ейлера.

Щоб записати диференційні рівняння руху рідини потрібно звернутись до другого закону Ньютона. В якому сказано : добуток маси точки на її прискорення, яке вона отримало від дії зовнішньої сили, дорівнює модулю цієї сили, а напрямок прискорення співпадає з напрямком дії сили.

У математичній формі, набуває вигляду:

m = к ( 3.13)

де - прискорення певної точки системи, к – діючи сили, п – кількість діючих сил, К – змінний індекс підсумку ( К = 1, 2, 3...).

Проекції на вісі координат (3.13) виглядатиме так:

ma_x = ; ma_y= ; ma_z = .

Звертаючись до параграфа 2.4 знайдемо сили прискорення на відповідних координатах. Для спрощення зробимо проекцію на вісь Ох , потім підставимо на інші вісі. Якщо масова сила діюча на вісі координат становить :

dQ_x = X (3.14) ,

тоді проекція на вісь Ох гідродинамічного тиску матиме вигляд: dP_x1 – dP_x2 = pdydz – ( p + dx)dydz = - dxdydz. (3.15)

Виходячи з цього, статична складова діючої сили _к у рівнянні (3.13) становить : dP_x1 – dP_x2 + dQ_x = X dxdydz - dxdydz.

Але для знаходження тіла у стані спокою, треба щоб сила інерції дорівнювала за модулем силі прискорення і була направлена у протилежний бік, тобто : I_x = - dxdydz . (3.16)

Виходячи з принципу Д^, Аламбера, проекції усіх діючих сил на паралелепіпед дорівнюють нулю. Відштовхуючись від цього запишемо балансові рівняння рівноваги, прирівнюючи між собою окремі сили з рівнянь (3.14) …(3.16) у проекції на вісь Ох : Х dxdydz - dxdydz = dxdydz Скоротимо окремі додатки на однакові множники і кожен член рівняння розділимо на густину , отримаємо рівняння для вісі Ох , і допишемо до нього аналогічні для осей О_y ; O_z :

,

, (3.17)

.

Ці рівняння були отримані Ейлером у 1755р. і носять його ім^’я.

Похідні прискорення dU_x/ dt у загальному випадку є функцією багатьох змінних, а саме – координат x,y,z і часу t . Тому доцільно використовувати розгорнуту форму запису цих рівнянь : .

Але

; ; .

і як наслідок,

.

Аналогічні вирази отримують і для інших осей координат.

Підставивши вирази повних похідних через частинні, отримаємо систему диференційних рівнянь ідеальної рідини Ейлера у повній формі запису :

(3.18)

Система (3.18) спрощується, оскільки .

Тоді для усталеного руху рідини отримаємо :

(3.19).

Система рівнянь Ейлера незамкнута бо містить в собі чотири невідомих величини: Ux,Uy,Uz, i p . Тому необхідно мати ще одне рівняння . Таким є диференційне рівняння нерозривності потоку рідини.

Диференційне рівняння нерозривності потоку .

Рівняння нерозривності потоку базується на законі збереження маси і витікає з положення механіки суцільних середовищ про те, що в середині рухомої рідини не може виникнути розрив чи утворитися порожнина.

Умову нерозривності можна подати у диференційній формі для частинки рідини, а також у кінцевих формах для потоку рідини. Виділимо елементарний обєм, у потоці рідини. Розглянемо зміни маси рідини, що рухається вздовж вісі Ох. Позначимо швидкість рідини на вході в ліву грань паралелепіпеда Ux, на виході з грані . Вважаючи густину постійною, записуємо, що за час dt через ліву грань пройде рідина масою : dm₁ = U_х dydzdt, через праву грань : dm₂ = , залишається в паралелепіпеді :

Аналогічно, рух рідини вздовж осі Оу, дає приріст маси на : а рух рідини вздовж Oz, на :

Повна зміна маси становитиме:

.

Скоротимо рівняння на спільні члени, отримаємо :

(3.20).

Цей вираз називається, рівнянням нерозривності потоку в диференційній формі запису для довільного руху нестисливої рідини.

У разі усталеного руху рівняння нерозривності отримують, виходячи із властивостей елементарної струминки. Згідно з ними, місцеві швидкості різні по довжині струминки, з неї рідина не витікає і вона не доповнюється зовні. З чого виходить, що кількість рідини у початковому і кінцевому розрізах є однаковою.

Розглянувши живі розрізи 1-1;2-2 елементарної струминки з місцевими швидкостями U₁ I U₂. Стає зрозуміло, що обєм рідини який протікає чер6ез розрізи 1-1; 2-2 за одиницю часу, складатиме елементарні витрати :

dQ₁ = U₁dF₁; dQ₂ = U₂dF₂ . Взявши за умову те, що кількість рідини яка проходить через елементарну струминку є однаковою як на вході так і на виході, або : dQ₁ = dQ₂. Отримаємо рівняння :

U₁dF₁ = U₂dF₂. (3.21)

Це є не що інше як рівняння нерозривності потоку елементарної струминки.

Рівняння Д. Бернуллі для елементарної струминки

ідеальної рідини.

Розглянемо систему рівнянь запропоновану Ейлером для руху ідеальної рідини:

(3.17)

Координатні вісі спрямуємо таким чином, щоб вісі Ох і Оу були у горизонтальній площині, а вісь О_z – спрямована вертикально. Систему рівнянь Ейлера приведемо до вигляду зручного для інтегрування. Тобто помножимо кожне з рівнянь на відповідне переміщення dx,dy,dz, і почленно додамо три рівняння як наслідок отримаємо : (3.22)

Перший тричлен, за умови усталеності руху p = p(x,y,z), є повним диференціалом гідродинамічного тиску, віднесений до густини

рідини :

Розглянемо рух рідини під дією сили тяжіння, коли рідина може рухатись у будь якому напрямку, в тому числі і в гору ( напірні системи). Величини X,Y,Z відображають зовнішні масові сили у вигляді проекцій на відповідні вісі. У даному випадку діють тільки сили тяжіння, викликані прискоренням вільного падіння g. Тоді для прийнятих напрямків координатних осей запишемо : X = 0; Y = 0 : Z = -g, звідси : Xdx + Ydy + Zdz = - gdz.

Враховуючи те, що для усталеного руху проекції переміщень частинок вздовж потоку визначається за формулами : dx = U_xdt, dy = U_ydt, dz = U_zdt; перетворимо праву частину рівняння (3.22), і отримаємо :

де U – місцева швидкість у кожному розрізі елементарної струминки.

Підставивши до рівняння (3.22) відповідні значення тричленів, отримаємо :

чи

(3.23)

Поділивши всі члени рівняння (3.23) на прискорення g , отримаємо рівняння віднесене до одиниці маси :

.

Після інтегрування отримуємо :

(3.24)

Вираз отриманий Даніїлом Бернуллі у1738 р. носить його ім’я, і називається « рівняння для елементарної струминки невязкої крапельної рідини при усталеному русі.

Формулюється воно так: сума трьох напорів – геометричного z, п’єзометричного і швидкісного є величина стала і рівна гідродинамічному напору H_d. З енергетичної точки зору, тлумачення цього рівняння буде таким : під час руху ідеальної рідини, розсіювання енергії по довжині потоку (струминки) не відбувається і повна енергія потоку, яка складається із питомої кінетичної і питомої потенційної енергії є величиною сталою

Коефіцієнти кінетичної енергії і кількість руху

для потоку реальної рідини.

Кількість руху – це добуток маси на швидкість mU. Кінетична енергія – це частина повної енергії потоку, що залежить тільки від швидкості у даному живому перерізі. Вона дорівнює половині добутку маси на квадрат швидкості . Питома кінетична енергія – це енергія одиниці маси .

Визначаємо кількість руху рідини, для чого виділимо у перерізі елементарну площину dF через яку за одиницю часу проходить маса рідини у кількості , кількість руху рідини для площиниdF становитиме

, а через живий розріз : , запишемо місцеву швидкість через середню v , використавши таку залежність: , де - відхилення значення місцевої швидкості від середньої.

Виходячи з тих значень, що маємо для нестисливої рідини отримуємо

: (3.25)

Виходячи з того, що витрати потоку : , тоді .

Інтеграл у правій частині виразу (3.25) це кількість руху потоку частинок які рухаються через живий розріз з однаковою швидкістю, рівною середній швидкості потоку , виходячи з цього виразу

. Розділивши всі члени цього вираз на К_сер будемо мати:

, (3.26)

Таким чином . Цей вираз показує, що кількість руху рідини розрахована по дійсному значенню швидкості в потоці, більша розрахованої по середній швидкості. Коефіцієнт враховує нерівномірність розподілу швидкостей і є відношенням дійсної кількості руху маси рідини, Що проходить за одиницю часу через даний переріз, до кількості руху маси тієї ж рідини, розрахованою за середньою швидкістю потоку. Коефіцієнт називається коефіцієнтом Буссінеска. Дослідження показують, що = 1,05. В інженерних розрахунках ним можна нехтувати.

Для застосування рівняння Бернулі необхідно знати величини питомих енергій Е = Е_п + Е_К. Питома потенційна енергія становить : .

Розрахунок питомої кінетичної енергії, викликає певні труднощі. Для розрахунку знайдемо кінетичну енергію маси рідини, яка проходить через розріз за одиницю часу : і підставимо у рівняння кінетичної енергії маси : .

Тоді питома кінетична енергія потоку складатиме:

. (3.27)

Розділивши цей вираз на вагову витрату рідини :

,

отримаємо :

. (3.28)

Але отриманий вираз незручний для практичних розрахунків. Тому що, для розрахунків треба знати розподіл місцевих швидкостей U по живому розрізу. Визначити питому кінетичну енергію можна також не за місцевими швидкостями, а за середньою швидкістю потоку v = Q/F. Коли б усі частинки живого розрізу мали б однакову швидкість v , то кінетична енергія всієї маси рідини дорівнювала б . Позначивши питому кінетичну

енергію через Е_сер, отримаємо :

за цих умов відношення Е_к до Е_сер буде : . (3.29)

Безрозмірний коефіцієнт - це відношення дійсної кінетичної енергії секундних масових витрат, до кінетичної енергії, умовно розрахованої за середньою швидкістю в розрізі потоку. Коефіцієнт - носить назву коефіцієнт Каріоліса.

Із рівняння (3.29) видно, що питому кінетичну енергію можна вирахувати за середньою швидкістю : , якщо знати коефіцієнт . Для того щоб судити про коефіцієнт Каріоліса, рівняння (3.29) треба привести до іншого вигляду. Вважаємо, що місцева швидкість U відрізняється від середньої v на величину , тобто : .

Тоді замість (3.29) запишемо :

,

чи

. (3.30).

В цьому виразі величиною можна знехтувати, як величиною малого порядку, а величина завжди дорівнює 0 , що зазначалося вище. Виходячи з цього, замість виразу (3.30) ми отримуємо :

. (3.31).

З виразу (3.31) видно, що коефіцієнт завжди більший за одиницю, для турбулентного режиму руху При виконанні практичних розрахунків його приймають рівним 1. Для ламінарного режиму руху коефіцієнт і тому у цьому випадку, величиною нехтувати неможна.

Рівняння Бернуллі для усталеного руху

реальної рідини в елементарній струминці і потоці.

При складанні рівняння Бернулі для елементарної струминки реальної рідини слід враховувати дві обставини.

По перше, під час руху рідини проявляються сили в’язкого тертя, для подолання яких необхідно мати певний напір , Тому загальна енергія не лишається сталою по довжині потоку.

По друге, в елементарній струминці швидкості однакові ва усіх точка, і тому розподіл швидкостей вносити не потрібно.

Виходячи з цих обставин, рівняння Бернулі набуває вигляду : (3.32).

де h _w – загальні витрати напору ( енергії) при проходженні рідини по всій довжині струминки.

Розглядаючи потік реальної рідини, треба враховувати те, що швидкості по довжині потоку не однакові. Їх розподіл підпорядковується певному закону, головним фактором у якому виступає режим руху рідини. За рівняннями Бернуллі несталість швидкостей у живих розрізах потоку призводить до того, що кінетична енергія розрахована за середнім значенням швидкостей, не дорівнює кінетичній енергії, розрахованій за реально існуючими швидкостями у розрізах. Тому рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини набуває вигляду :

. (3.33)

Тут двочлен залишається сталим для всіх точок живого розрізу певного живого потоку.

У практичних розрахунках д ля турбулентного режиму руху, коефіцієнт = 1 , тоді рівняння набуває вигляду: (3.34)

Тобто : різниця сум трьох напорів ( геометричного, п’єзометричного і швидкісного ) , визначених для двох розрізів потоку реальної рідини, дорівнює величині напору, що губиться на подолання опорів під час руху рідини між вибраним перерізом.