Расчетно-графическая работа № 6

РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ РАМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Литература: [1, c. 486-503]; [ 6, c. 41-77 ]; [7, c. 21 - 52]; [146-164].

Исходные данные к работе определяется по табл.6.1 и схемам, предс-тавленным на рис. 6.1.

Задание.

• Определить критическую силу и расчетную длину центрально сжатого стержня рамы.

• Произвести подбор сечения центрально сжатого стержня с учетом продольного изгиба.

Последовательность расчета

Определение критических параметров

6.1. Вычертить в масштабе расчетную схему рамы с указанием размеров, нагрузки и других данных к расчету.

6.2. Пронумеровать все стержни расчетной схемы, определить их относительные жесткости i_k = EI_k/l_k (k – номер стержня) и выразить их через общий множитель i₀, приняв за него величину относительной жесткости любого из стержней рамы.

6.3. Записать для всех сжатых стержней выражения их критических параметров

,

где n – номер сжатого стержня; N_n – величина сжимающей силы в этом стержне; EI_n – его жесткость при изгибе; h_n – длина сжатого стержня.

Все параметры _n выразить через ₀, принимая за последний любой из параметров _n.

Таблица 6.1

Исходные данные к ргр № 6

Примечания к табл. 6.1:

• Для схемы 1 сечение принять квадратным при соотношении высоты к толщине стенки (полки) h/t = 10.

• Для схем 3 и 8 принять соотношение высоты сечения к его ширине h/b = 1,5.

• Для схем 7 и 9 принять отношение внешнего диаметра кольца к внутреннему D/d = 1,2.

• Прочие типы сечений принимать согласно расчету по сортаменту прокатных профилей.

6.4. Получить основную систему метода перемещений путем введения в заданную расчетную схему дополнительных угловых и линейных связей по направлению возможных угловых и линейных смещений узлов.

6.5. Составить уравнение устойчивости в общем виде применительно к заданной расчётной схеме.

6.6. Построить в основной системе эпюры изгибающих моментов от единичных смещений по направлениям введенных дополнительных связей, используя таблицы реакций прил. 7 и 8.

6.7. С помощью построенных эпюр определить реакции в дополнительных связях от заданных единичных смещений и представить уравнение устойчивости в развернутом виде.

6.8. Решить уравнение устойчивости путем подбора наименьшего критического параметра _cr при помощи таблиц трансцедентных функций (прил. 9)

Рис.6.1. Схемы заданий к РПР № 6

или на ПК при помощи учебной программы BUCLING.

6.9. Определить критические силы F_cr и расчетные длины l₀ для всех сжатых стоек расчетной схемы по найденным значениям критических параметров _n,cr по формулам:

; .

Подбор сечений центрально сжатых стержней

6.10. Задаться (в зависимости от материала стойки) значением гибкости λ ≥ λ_cr и определить по прил. 10 соответствующей этой гибкости коэффициент продольного изгиба в первом приближении φ = φ₁.

6.11. Определить требуемую площадь поперечного сечения стержня при заданном значении продольной силы N = F

,

приняв коэффициент условия работы γ_с = 1, а расчетное сопротивленине по прил. 2 и 3 в зависимости от заданного материала стержня.

6.12. Определить размеры поперечного сечения либо по заданным соотношениям (см. прим. к табл. 6.1), либо по сортаменту прокатных профилей (прил. 4 и 5).

6.13. Определить геометрические характеристики полученного сечения и гибкость стержня, используя значение расчетной длины стержня l₀, полученную в п. 6.9.

6.14. По полученному значению гибкости по прил. 10 определить коэффициент продольного изгиба φ = φ₂.

6.15. Произвести проверку прочности стержня при продольном изгибе

.

Если данное условие не выполняется, то необходимо повторить подбор сечения стержня (п.п. 6.10 – 6.15), задаваясь следующим значением коэффициента продольного изгиба (второе приближение) φ = 0,5(φ₁ + φ₂).

Расчет по подбору оптимального сечения выполняется методом последовательных приближений до тех пор, пока величина напряжения σ не будет отличаться от Rγ_с не более чем на 5%.

6.16. Определить изгибную жесткость центрально сжатого стержня EI по размерам полученного сечения и получить значение F_cr (п.6.9) в численном виде.

6.17. Определить продольную силу, которую способен воспринять сжимаемый стержень .

6.18. Определить коэффициент запаса принятого сечения k = F_cr/N.

Приложение 1

Модули упругости и коэффициенты Пуассона

Материал	Модули упругости E, Eb, E0, МПа	Модуль сдвига G, МПа	Коэффициент Пуассона μ
Сталь прокатная	2,06·105	7,8·104	0,24…0,3
Алюминиевые сплавы	0,7·105	2,6·104	0,32…0,34
Бетон класса:
В 20	0,27·105	0,4Eb	0,16…0,18
В 30	0,325·105	0,4Eb	0,16…0,18
В 50	0,39·105	0,4Eb	0,16…0,18
Дерево (сосна, ель)
вдоль волокон	(0,1…0,12)·105	5.5·104	–
поперёк волокон	(0,005…0,01)·105	–	–

Приложение 2

Расчётные сопротивление проката для стальных конструкций

Материал	Расчетное сопротивление, МПа
	Ry	Ru
Сталь листовая, прокатная, фасонная:
C245	240	360
C255	240	360
C285	280	390
C375	345	480

Приложение 3

Расчётные сопротивления для некоторых сортов древесины

Напряжённое состояние и характеристики элементов	Расчётные сопротивления, МПа
	сосна, ель	дуб	бук
1. Изгиб Rи, сжатие Rс и смятие Rсм
вдоль волокон:
элементы прямоугольного сечения	14	18,2	15,4
элементы из круглых пиломатериалов	16	20,8	17,6
2. Растяжение вдоль волокон Rр	10	13	11

Приложение 4

Двутавры горячекатаные (ГОСТ 8239 – 89)
№	Масса 1 п.м., кг	Размеры, мм				A, см2	Iz, см4	Wz, см3	iz, см	Sz, см3	Iy, см4	Wy, см3	iy, см
		h	b	s	t
10 12 14 16 18	9,46 11,5 13,7 15,9 18,4	100 120 140 160 180	55 64 73 81 90	4,5 4,8 4,9 5 5,1	7,2 7,3 7,5 7,8 8,1	12 14,7 17,4 20,2 23,4	198 350 572 873 1280	39,7 58,4 81,7 109 143	4,06 4,88 5,73 6,57 7,42	23 33,7 46,8 62,3 81,4	17,9 27,9 41,9 58,6 82,6	6,49 8,72 11,5 14,5 18,4	1,22 1,38 1,55 1,7 1,88
20 22 24 27 30 33 36 40 45 50 55 60	21 24 27,3 31,5 365 42,2 48,6 57 66,5 78,5 92,6 108	200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600	100 110 115 125 135 140 145 155 160 170 180 190	5,2 5,4 5,6 6 6,5 7 7,5 8,3 9 10 11 12	8,4 8,7 9,5 9,8 10,2 11,2 12,3 13 14,2 15,2 16,5 17,8	26,8 30,6 34,8 40,2 46,5 53,8 61,9 72,6 84,7 100 118 138	1840 2550 3460 5010 7080 9840 13380 19062 27696 39727 55962 76806	184 232 289 371 472 597 743 953 1231 1589 2035 2560	8,28 9,13 9,97 11,2 12,3 13,5 14,7 16,2 18,1 19,9 21,8 23,6	104 131 163 210 268 339 423 545 708 919 1181 1491	115 157 198 260 337 419 516 667 808 1043 1356 1725	23,1 28,6 34,5 41,5 49,9 59,9 71,1 86,1 101 123 151 182	2,07 2,27 2,37 2,54 2,69 2,79 2,89 3,03 3,09 3,23 3,39 3,54

Приложение 5

Швеллеры горячекатаные (ГОСТ 8240 – 89)
№	Масса 1 п.м., кг	Размеры, мм				A, см2	Iz, см4	Wz, см3	iz, см	Sz, см3	Iy, см4	Wy, см3	iy, см	z0, см
		h	b	s	t
5 6,5 8 10	4,84 5,9 7,05 8,59	50 65 80 100	32 36 40 46	4,4 4,4 4,5 4,5	7 7,2 7,4 7,6	6,16 7,51 8,98 10,9	22,8 48,6 89,4 174	9,1 15 22,4 34,8	1,92 2,54 3,16 3,99	5,59 9 13,3 20,4	5,61 8,7 12,8 20,4	2,75 3,68 4,75 6,46	0,95 1,08 1,19 1,37	1,16 1,24 1,31 1,44
12 14 16 16а 18 18а 20 22 24 27 30 33 36 40	10,4 12,3 14,2 15,3 16,3 17,4 18,4 21 24 27,7 31,8 36,5 41,9 48,3	120 140 160 160 180 180 200 220 240 270 300 330 360 400	52 58 64 68 70 74 76 82 90 95 100 105 110 115	4,8 4,9 5 5 5,1 5,1 5,2 5,4 5,6 6 6,5 7 7,5 8	7,8 8,1 8,4 9 8,7 9,3 9 9,5 10 10,5 11 11,7 12,6 13,5	133 15,6 18,1 19,5 20,7 22,2 23,4 26,4 30,6 35,2 40,5 46,5 53,4 61,5	304 491 747 823 1090 1190 1520 2110 2900 4160 5810 7980 10820 15220	50,6 70,2 93,4 103 121 132 152 192 242 308 387 484 601 761	4,78 5,6 6,42 6,49 7,24 7,32 8,7 8,89 9,73 10,9 12 13,1 14,2 15,7	29,6 40,8 54,1 59,4 69,8 76,1 87,8 110 139 178 224 281 350 444	31,2 45,4 63,3 78,8 86 105 113 151 208 262 327 410 513 642	8,52 11 13,8 16,4 17 20 20,5 25,1 31,6 37,3 43,6 51,8 61,7 73,4	1,53 1,7 1,87 2,01 2,04 2,18 2,2 2,37 2,6 2,73 2,84 2,97 3,1 3,23	1,54 1,67 1,8 2 1.94 2,13 2,07 2,21 2,42 2,47 2,52 2,59 2,68 2,75

Приложение 6

Уголки стальные горячекатаные неравнополчные (ГОСТ 8240 – 89)
№ уголка	Масса 1 п.м., кг	Размеры, мм			A, см2	Iz, см4	iz, см	Iy, см4	iy, см	z0, см	y0, см
		B	b	t
5/3,2	2,4	50	32	4	3,17	7,9	1,59	2,56	0,9	0,76	1,65
7,5/5	4,79	75	50	5	6,11	34,8	2,39	12,5	1,43	1,17	2,39
9/5,6	6,7	90	56	6	8,54	70,6	2,88	21,2	1,58	1,28	2,95
10/6,3	7,53 8,7 9,87	100	63	6 7 8	9,58 11,1 12,6	98,3 113 127	3,2 3,19 3,18	30,6 35 39,2	1,79 1,78 1,77	1,42 1,46 1,5	3,23 3,28 3,32
11/7	10,9	110	70	8	13,9	172	3,51	54,6	1,98	1,64	3,61
12,5/8	11 12,6 15,5	125	80	7 8 10	14,1 16 19,7	227 256 312	4,01 4 3,98	73,7 83 100	2,29 2,28 2,26	1,8 1,84 1,92	4,01 4,05 4,14
14/9	14,1 17,5	140	90	8 10	18 22,2	364 444	4,49 4,47	120 146	2,58 2,56	2,03 2,12	4,49 4,58
16/10	18 19,8 23,6	160	100	9 10 12	22,9 25,3 30	606 667 784	5,15 5,13 5,11	186 204 239	2,85 2,84 2,82	2,24 2,28 2,36	5,19 5,23 5,32
18/11	22,2 26,4	180	110	10 12	28,3 33,7	952 1123	5,8 5,77	275 324	3,12 3,1	2,44 2,52	5,88 5,97
20/12,5	27,4 29,7 34,4 39,1	200	125	11 12 14 16	34,9 37,9 43,9 49,8	1449 1568 1801 2026	6,45 6,43 6,41 6,38	446 482 551 617	3,58 3,57 3,54 3,52	2,79 2,83 2,91 2,99	6,5 6,54 6,62 6,71

Приложение 7

Таблицы реакций и усилий в изгибаемых стержнях