Самостоятельная работа №14

Тема 4.4. Тригонометрические функции. Самостоятельная работа (4 часа)

Цель: изучить свойства графиков тригонометрических функций.

Графики и свойства тригонометрических функций.

При введении тригонометрических функций мы обозначали аргумент буквой t, т.к. буквы х и у были заняты – они обозначали координаты вращающейся точки М(t). Сейчас вернемся к прежним обозначениям: х – аргумент, у – функция.

Построим графики функций y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x.

Для изображения графиков тригонометрических функций масштаб по осям выбирается 1 ед = 2 кл. Т.к. аргумент выражается чаще всего долями числа , то разметим ось абсцисс используя приблизительное равенство   3. Тогда числу  соответствует 6 клеток, ^/₂ — 3 клетки, ^/₆ — 1 клетка и т.д. Получим т.н. тригонометрический набор координат.

Нанеся на координатную плоскость точки из таблицы значений тригонометрических функций (табл. 1) и соединив их плавной линией, получим искомые графики.

При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.

Тогда функция  y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.

 

график - синусоида

Свойства функции

Область определения: R

Область значений: [-1; 1]

Четность, нечетность: функция нечетная

Период: 2π

Нули: sin x = 0 при x = π n, n Z

Промежутки знакопостоянства: sin x > 0 при x (2 π n; n + 2 π n), n Z sin x < 0 при x (- π + 2 π n; 2 π n), n Z

Экстремумы: x_min = π + 2 π n, n Z; y_min = -1 x_max = π + 2 π n, n Z; y_min = 1

Промежутки монотонности:

Функция возрастает при x [- ], n Z

Функция убывает при x [ ], n Z

График функции  y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  y = sin x  вдоль оси Х  влево на 2

график - косинусоида

Свойства функции

Область определения: R

Область значений: [-1; 1]

Четность, нечетность: функция четная

Период: 2 π

Нули: n Z

Промежутки знакопостоянства: cos x > 0 при x (- +2 π n; + 2 π n), n Z cos x < 0 при x ( + 2 π n; + 2 π n), n Z

Экстремумы: x_min = π + 2 π n, n Z; y_min = -1 x_max = 2 π n, n Z; y_min = 1

Промежутки монотонности:

Функция возрастает при x [- ], n Z

Функция убывает при x [ ], n Z

Преобразования графиков y = sinx и y = cosx : Графики функций y = sinx и y = cosx можно получить друг из друга путем параллельных переносов вдоль оси x на : cos x = sin (x + ); sin x = cos (x - );

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения:  < x +  область значений:  1   y +1;

    - эти функции периодические: их период 2 ;

- функции ограниченные  ( | y | , всюду непрерывные, не монотонные, но 

   имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они  

   ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 );

- функции имеют бесчисленное множество нулей.

y= tg x

график - тангенсоида

Свойства функции

Область определения: объединение интервалов (- ), n Z

Область значений: R

Четность, нечетность: функция нечетная

Период:

Нули: y = 0 при x = n, n Z

Промежутки знакопостоянства: tg x > 0 при x ( π n; + 2 π n), n Z

tg x < 0 при x (- +2 π n; π n), n Z

Экстремумов нет

Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале области определения

Асимптоты: x = + n, n Z

y = ctg x

график - катангенсоида

Свойства функции

Область определения: объединение интервалов (π n; π + π n), n Z Область значений: R

Четность, нечетность: функция нечетная

Период: π

Нули: y = 0 при x = +2 π n, n Z Промежутки знакопостоянства: ctg x > 0 при x ( π n; + π n), n Z ctg x < 0 при x ( - + π n; π n), n Z

Экстремумов нет

Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале области определения

Асимптоты: x = π n, n Z

Преобразования графика y = ctgx : График функци y = ctgx получается из графика y = tgx путем отражения относительно любой из координатныхосей и последующим параллельным переносом вдоль оси x на .

Контрольные вопросы.

Тест для самопроверки.

18. Тригонометрические функции определены при любом х

19. Функция у = ctg x  определена на (π n; π + π n),.

20. Областью определения функции у =tg x  является объединение интервалов (- .)

21. Областью значений каких тригонометрических функций является множество [-1; 1]

22. При построении тригонометрических функций мы используем ….меру измерения углов.

23. Функция y = sin x представляется графиком…….

24. Областью определения каких тригонометрических функций является R

25. Какие тригонометрические функции четные, нечетные.

26. Тригонометрические функции периодичны.

27. sin x > 0 при x (2 π n; n + 2 π n), n Z

28. cos x < 0 при x ( + 2 π n; + 2 π n), n Z

29. Нули функции y = cos x : n Z

30. Экстремумы какой функции x_min = π + 2 π n, n Z; y_min = -1 x_max = 2 π n, n Z; y_min = 1?

31. Как можно получить друг из друга графики функций y = sinx и y = cosx ?

32. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).

33. График функции у= cos x пересекается с осью ОХ в точках….

34. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.

35. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.

36. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).

37. График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.

38. Существует логарифм отрицательного числа.

39. Существует логарифм дробного положительного числа.

40. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).

Самостоятельная работа №15(2 часа)

Цель: изучить преобразования графиков функций.

изучить симметрию графиков относительно прямой Y=X.

Способы построения графиков функций
«по точкам»
	Вытекает из определения графика функции. Он является длинным и недостаточно надежным. Применяется в школьном курсе математики при первоначальном знакомстве с простейшими функциями. (На графике функция ).
Путем сдвига графиков основных функций
	Чтобы построить график функции , можно или график функции  сдвинуть вдоль оси  на  единиц в сторону, совпадающую со знаком , или перенести параллельно ось  в сторону, противоположную знаку . (На примере функции  и ).
	Чтобы построить график функции , можно или график функции  вдоль оси  на  единиц в сторону, противоположную знаку , или перенести параллельно ось  в сторону, совпадающую со знаком . (На примере функции  и ).
путем симметричного отображения относительно осей координат
	Чтобы построить график функции , можно построить изображение, симметричное графику  функции  относительно оси . (На примере функции  и ).
	Чтобы построить график функции , можно построить изображение, симметричное графику  функции  относительно оси . (На примере функции  и ).
Путем деформирования графиков основных функций
	Чтобы построить график функции  при , можно график  функции  растянуть (сжать) вдоль оси , если  ( ). (На примере функции ,  и ).
	Чтобы построить график функции  при , можно график  функции  растянуть (сжать) вдоль оси , если  ( ). . .(На примере функции ,  и ).
Способы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины
	Функция  четная. Чтобы построить ее график, достаточно построить для  график функции , а затем достроить его левую часть, симметричную правой относительно оси . (На примере функции ).
	Можно данную функцию рассматривать как совокупность двух функций: . Чтобы построить график функции , достаточно построить график функции  и ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси . (На примере функции )
	Функция  четная. Построить для  график функции , затем его симметрично отразить относительно оси , и, наконец, ту часть полученного графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси . (На примере функции ).
Кусочно-линейная функция
	Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия. Для построения графика находят уравнения звеньев ломаной.(Функция ). Уравнения звеньев ломаной: