Тема 4.2. Степенная и показательная функции. Свойства графики. Самостоятельная работа (4 часа)

Цель: Выработать навык построения графиков степенной и показательной функций.

Показательная функция

y = a^x

Степенная функция

y = xⁿ

Решить самостоятельно.

Задание. Построить графики функций: y = ; y = ; y = ^-1

Форма контроля: проверка конспекта и устный опрос.

Самостоятельная работа № 13

Тема 4.3. Логарифмическая функция. Свойства и график. Самостоятельная работа (2 часа)

• изучить свойства логарифмической функции.

• построение графиков логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция y= , (х )  называется логарифмической функцией.

         Логарифмическая функция y= является обратной по отношению к показательной функции у₌  (х ) . Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 8).

Приведем основные свойства логарифмической функции:

1)    Область определения: D(y) =R₊ .

2)    Область значений функции: E(y) =R.

3)    Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: =0, =0, .

4)    Функция y= ,  возрастает в промежутке  (рис. 8 а). При этом, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а - меньших единицы, отрицательны.

5)    Функция y= , (х ,  убывают в промежутке . При этом, логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а - больших единицы, отрицательны.

4.     Найти область определения функции: y=

Решение. Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:

         Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим 1 на :

         Так как основание логарифма8 >1 , то, согласно свойствам логарифма, переходим к системе: т.е.  

         Последняя система равносильна неравенству: ,

которое решается методом интервалов (причем x≠3, и x ≠ 1 ). С помощью рис. 9 получаем ответ:[-1;1) (3;5].

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение логарифмической функции.

2. Какие область определения и область значения функции у = log_ax?

3. В каком случае функция у = log_ax является возрастающей, в каком убывающей?

4. При каких значениях x функции у = log_ax принимает положительные значения, при каких отрицательные?

Тест для самопроверки. ( Варианты ответов: да нет)

1. Логарифмическая функция у = log_ax определена при любом х

2. Функция у = log_ax  определена при а > 0, а =/= 1, х > 0.

3. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел.

4. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел.

5. Логарифмическая функция – четная.

6. Логарифмическая функция – нечетная.

7. Функция у = log_ax – возрастающая при а >1.

8. Функция у = log_ax при положительном, но меньшем единицы основании, – возрастающая.

9. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).

10. График функции у = log_ax пересекается с осью ОХ.

11. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.

12. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.

13. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).

14. График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.

15. Существует логарифм отрицательного числа.

16. Существует логарифм дробного положительного числа.

17. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).