§ 2.8. Двумерные случайные величины

Упорядоченная пара (X, Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства.

Двумерная случайная величина (X, Y) называется также системой случайных одномерных величин X и Y.

Множество всех возможных значений дискретной двумерной слу­чайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.

Дискретная двумерная случайная величина (X, Y) считается задан­ной, если известен ее закон распределения:

P(X = x_i ,Y = y_k) = p_ik (i = l, 2,..., m; k = 1,2,..., n).

Этот закон можно записать в виде таблицы с двойным входом:

Y X	y1	y2	…	yk	…	yn	Σ
x1	p11	p12	…	p1k	…	p1n	p1
x2	p21	p22	…	p2k	…	p2n	p2
…	…	…	…	…	…	…	…
xi	pi1	pi2	…	pik	…	pin	pi
…	…	…	…	…	…	…	…
xm	pm1	pm2	…	pmk	…	pmn	pm
Σ	q1	q2	…	2k	…	qn	1

События (X=x_i , Y=у_k ) образуют полную группу событий, по­этому сумма всех вероятностен р_ik (i = 1, 2,..., m; k = 1, 2,..., n) , ука­занных в таблице, равна 1, т.е.

По теореме сложения получаем

Если известен закон распределения двумерной случайной величины (X, Y), то можно найти законы распределения составляющих X и Y. Дей­ствительно, возможные значения х₁,x₂,...,х_m величины X и у₁, у₂,..., у_n величины Y содержатся в таблице, а вероятности этих зна­чений определяются по формулам (2.8.2) и (2.8.3). Из формул видно, что для определения вероятностей P(X=x_i) = p_i надо в таблице пронуме­ровать вероятности в i-й строке, а для определения вероятности P(Y = y_k) = q_k – просуммировать вероятности в k-ом столбце.

Если для любой пары возможных значений X = x_i Y=y_k справед­ливо равенство

P(X = x₁, Y = y_k) = P(X = x_i)P(Y = y_k), (2.8.4)

то случайные величины называются независимыми. Равенство (2.8.4) выражает необходимое и достаточное условие независимости случай­ных величиной Y и X.

По теореме умножения

P(X = x_i, Y = y_k) = P(X = x_i)P(Y = y_k / X =

P(X = x_i, Y = y_k) = P(Y = P(X = / Y = ) ,

Откуда

P(Y = X = ) = . (2.8.5)

P(X = x_i /Y = y_k) = . (2.8.6)

Условным законом распределения дискретной случайной величины X при Y=y_k называется множество значений х _i (i= 1, 2,...., m ) и услов­ных вероятностей P(х₁ / y_k), Р(х₂ / y_k), ..., Р(х_m / y_k), вычисленных в предположении, что событие Y = у_k уже наступило.

Аналогично определяется условный закон распределения дискрет­ной случайной величины Y при X =х_i . Этот закон задается формулой (2.8.6).

Условный закон распределения дискретной случайной величины X при Y=y_k задается формулой (2.8.5).

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) назы­вают функцию F(х, у) двух действительных переменных х и у, опреде­ляемую равенством

F(x, y) = P(X < x, Y < y) (2.8.7)

Геометрический смысл этого равенства: функция F(x, у) есть веро­ятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квад­рант с вершиной в точке (х, у), так что точка (X, Y) будет ниже и левее указанной вершины (рис. 2.14).

Рис. 2.14.

Функция распределения F(х, у) обладает следующими

свойствами:

1. Все значения функции распределения F(x, у) при­надлежат отрезку [0; 1]: 0 ≤ F(x, y) = 1.

2. Функция распределения F(x, у) монотонно возрастает

по обеим переменным: если х₁ < х₂, то F(x₁,y)≤ F(x₂,y); если у₁ < у₂, то F(x, y₁) ≤ F(x, y₂).

3. Выполняются равенства:

F( = 0, F(x, - = 0, F( -∞, - )= 0 (2.8.8)

F(+ (2.8.9)

F (x, + (X<x) = , F(+ = P(Y<y) = (2.8.10)

Где

F( = , ,

F(+ = .

Двумерная случайная величина (X, Y) называется непрерывной, если ее функция распределения F(x, у) имеет непрерывную смешанную производную второго порядка: F"_xy = F"_yx.

Плотность распределения вероятностей р(х, у) непрерывной дву­мерной случайной величины (X, Y) определяется формулой

p(x, y) = F^''_xy (x, y) (2.8.11)

В этом случае

F(x, y) = (2.8.12)

С помощью плотности распределения р(х,у) двумерной случайной величины (X, Y) можно найти вероятность попадания ее значений в пря­моугольник S = (a ≤ X < b, c ≤ Y < d) (рис. 2.15):

P( = (2.8.13)

Эта формула является частным случаем более общей формулы

P((x, y) G) = (2.8.14)

Формула (2.8.14) означает следующее: вероятность тою, что дву­мерная случайная величина (X, Y) с плотностью распределения р(х, у) принимает значения из области G, равна двойному интегралу от функ­ции р(х, у) по этой области.

Вероятность попадания значений двумерной случайной величины (X, Y) в прямоугольник S = [а, b, с, d] можно найти и с помощью ее функции распределения F(x, у) по формуле

P(a ≤ X < b, c ≤ Y < d) = [F(b, d) – F(a, d)] – [F(b, c) – F(a, c)] (2.8.15)

Эта формула получается из двух формул для вероятности попадания значений (X, Y) в вертикальную или горизон­тальную полуполосу.

Вероятность того, что зна­чения величины (X, Y) попадут в полуполосу a < X < b, Y < у (рис. 2.16 а) выражается фор­мулой

Рис.2.15

P(a ≤ X < b, Y < y) = F(b, y) – F(a, y) (2.8.16)

Вероятность того, что значение случайной величины (X, Y) попадает в полуполосу X < х , с < Y < d (рис 2.16 б) выражается формулой

Рис.2.16

(X < x, c ≤ Y < d) = F(x, d) – F(x, c) (2.8.17)

Таким образом, вероятность попадания значений двумерной слу­чайной величины (X, Y) в полуполосу равна приращению функции рас­пределения по одному из аргументов.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если для лю­бых х и у выполняется равенство

P(X < x, Y < y) = P(X < x) P(Y < y) (2.8.18)

Необходимое и достаточное условие независимости случайных ве­личин X и Y выражается равенством

F(x, y) = F₁(x) F₂(y) (2.8.19)

где F(x, у) - функция распределения двумерной случайной величины (X, Y), F₁(x), F₂(y) - функции распределения составляющих X и Y; а также равенством

p(x, y) = p₁(x) p₂(y) (2.8.20)

где р(х, у) - плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y), p₁(x), р₂(у)- плотности распределения данных величин X и Y.

Ковариацией двух случайных величин X и Y называют математиче­ское ожидание произведения их отклонений:

cov(X, Y) = M((X – M(X))(Y – M(Y))) (2.8.21)

После преобразований правой части эта формула принимает вид

cov(X, Y) = M(X, Y) – M(X)M(Y) (2.8.22)

Если случайные величины X и Y независимы, то их ковариация рав­на нулю:

cov(X, Y) = 0 (2.8.23)

Коэффициент корреляции r (Х, Y) случайных величин X и Y опре­деляется формулой

r(X, Y) = . (2.8.24)

Пример 1 . Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения:

Y X	2	3	4
2	0,3	0,15	0,05
3	0,15	0,10	0,05
4	0,05	0,05	0,05
5	0,05	0	0

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Решение. Применяя формулу (2.8.2) т.е. суммируя вероятности в i-ой строке, находим

P(X = ) = (i = 1,2,3,4);

P (X=2) =0,3 +0,15 +0,05 = 0,50 , P(X = 3) =0,15+ 0,10+0,05 = 0,30.

P (X = 4) =0,05 +0,05 +0,05 = 0,15 , P(X = 5) = 0,05.

Равенство (2.8.1) выполняется: 0,5 + 0,3 + 0,15 + 0,05 = 1.

Применяя формулу (2.8.3), т.е. суммируя вероятности в k-ом столб­це, находим

P(Y = = (k =1, 2, 3);

P(Y = 2) = 0,3 + 0,15+0,05+0,05 = 0,55,

P(Y =3) = 0,15 + 0,10 + 0,05 = 0,30,

P(Y = 4) = 0,05 + 0,05 +0,05 = 0,15.

Равенства (2.8.1) также выполняются: 0,55 + 0,3 + 0,15 = 1.

Законы распределениями X и Y имеют вид:

xi	2	3	4	5		yk	2	3	4
pi	0,50	0,30	0,15	0,05	,	qk	0,55	0,30	0,15

Пример 2. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей

Y X	1	2	3	4
0	0,04	0,08	0,06	0,02
1	0,15	0,20	0,12	0,03
2	0,01	0,22	0,02	0,05

Найти условный закон распределения величины Y при X = 1 . Явля­ются ли независимыми величины X и Y?

Решение. Вероятности значений величины Y при X =1 найдем с помощью формулы (2.8.5).

Поскольку

P(X = 1) = 0,15 + 0,20 + 0,12 + 0,03 = 0,5

то по формуле (2.8.5) получаем

P(Y = 1/X =1) = = 0,3 , P(Y =2/ X = 1) = = 0,4 ,

P(Y = 3/ X = 1) = = 0,24 , P(Y = 4/X = 1) =

Итак, при условии, что X = 1, величина Y имеет следующий услов­ный закон распределения

yk	1	2	3	4
tk	0,3	0,4	0,24	0,06

Безусловный закон распределения имеет вид

yk	1	2	3	4
qk	0,2	0,5	0,2	0,1

(Вероятности q_k (k = 1,2,3,4)получены суммированием по столбцам вероятностей первой таблицы:q₁=0,04+ 0,15+0,01=0,2 и т.д.).

Так как условный и безусловный законы распределения не совпада­ют, то величина X и Y зависимы. Действительно, условие (2.8.4) не вы­полняется; например,

P (X = 0, Y = 2) = 0,08 , P (X = 0) = 0,2. P(Y = 2) = 0,5;

P (X = 0,Y = 2) P(X = 0) P (Y = 2).

Пример 3. Задана функция распределения двумерной случайной величины

(X, Y)

F(x, y) = (1 - )(1 - ) (x .

Найти вероятность того, что в результате испытания составляющие X и Y примут значения соответственно X < 2 , Y < 4 .

Решение. По формуле (2.8.7) находим

P(X , 2, Y , 4) = F(2, 4) = (1 - )(1 - ) 0,849.

Пример 4. Найти плотность вероятности р(х, у) двумерной слу­чайной величины (X, Y) по известной функции распределения

Решение. Поскольку

то по формуле (2.8.11) получаем

Пример 5. Дана плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины (X,Y)

p(x,y)=0 вне квадрата

Найти функцию распределения F(x,y) этой величины. Вычислить вероятность того, что X и Y примут значение:

Решение. По формуле (2.8.12) получаем

Итак,

В соответствии с формулой (2.8.7) находим

Пример 6. независимые случайные величины X и Y имеют соответственно плотности:

Найти: 1)функции распределения и ;

2)плотность распределения вероятностей системы ( X,Y);

3)функцию распределения системы (X,Y).

Решение. Функции распределения и найдем с помощью формулы (2.3.2)

Если то

Если , то

При

Следовательно,

Аналогично находим

Поскольку случайные величины X и Y независимы, то должно выполнятся равенство (2.8.19), с помощью которого, находя произведение · , получим функцию распределения F(x,y) случайной величины (X,Y):

п ри или y

при , 0< y 2

при 1 , y>2

при , 0 < y 2

при y > 2

Так как случайные величины X и Y независимы, то должно выполнятся и равенство (2.8.20), с помощью которого. Находя произведение · , получаем плотность распределения случайной величины (X,Y):

Пример 7. Двумерная случайная величина (X, Y) имеет плотность распределения р(х, у) и функцию распределения F(х, у), указанные и примере 6.

Найти вероятность события (- 1 х < 0 , 0 у<1) двумя способа­ми: а) с помощью функции р(х, у), б) с помощью функции F(x, у).

Решение. Эту вероятность можно найти с помощью формул (2.8.7) и (2.8.13). Поскольку для указанных значений х и у функция F(x, у) примера 6 имеет вид

F(x, у) = 0,25(х + 1)у при - 1 < х 1 , 0 < у 2 ,

то по формуле (2.8.7) получаем

Р(Х < 0, Y < 1) = F(0, 1) = 0,25*(0 + 1) *1 = 0,25 .

Согласно формуле (2.8.13) находим

P(-1<Х <0, 0 < Y < 1 )= 0,25 dx dy = 0,25

Задачи

1. Двумерная случайная величина (X, Y) задана законом распреде­ления:

Y X	3	4	5
0	0,02	0,12	0,06
1	0,03	0,18	0,09
2	0,05	0,30	0,15

Найдите законы распределения составляющих X и Y. Найдите ус­ловный закон распределения величины Y при X = 0 .

2. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей

Y X	-1	0	1
1	0,15	0,3	0,35
2	0,05	0,05	0,1

Найдите законы распределения составляющих X и Y. Вычислите ве­роятности Р(Х = 2 ,

Y = 0) , Р(Х > Y). Установите, зависимы или нет составляющие X и Y.

3. Задана функция двумерной случайной величины (X, Y)

F( ) = ( (х у 0).

Найдите вероятность того, что в результате испытания составляю­щие Х и Y примут значения соответственно X < 1 , Y < 3 .

4. Двумерная случайная величина (X, Y) имеет плотность распределения вероятностей

Требуется: 1) определить величину с; 2) найти функцию распреде­ления F(x, у); 3) вычислить вероятность того, что X и Y примут соответственно X и Y примут соответственно значения: X < 4, Y < 5 .

5. Найдите плотность совместного распределения р(х,у) системы случайных величин

(X, Y) по известной функции распределения

F(x, у) = sin х · sin у (0 х /2, 0 у /2).

6. Найдите вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямо­угольник с вершинами

А( ), B( ), С( ), D( ), если известна функция распределения

F(x, у) = sin х · sin у (0 х 2, 0 у /2).

Ответы

3. 0,601. 4. с = 20; F(x, y) = p = 9/16

5. 6. 0,08.

Вопросы

1. Что такое двумерная случайная величина?

2. Какие другие названия используют для двумерной случайной величины?

3. Что такое закон распределения дискретной двумерной случайной величины?

4. В каком виде можно записать закон распределения дискретной двумерной случайной величины?

5. Что дает таблица совместного распределения двух дискретных случайных величин?

6. Как, зная закон распределения дискретной двумерной случайной величины, найти законы распределения составляющих?

7. Каким образом по таблице совместного распределения двух дискретных случайных величин можно вычислить математическое ожидание и дисперсию каждой из этих величин?

8. Что называют условным законом распределения дискретной случайной величины X при Y =

9. Как условный закон распределения связан с безусловным законом распределения?

10. Как определяется функция распределения двумерной случайной величины?

11. Каковы свойства функции распределения двумерной случайной величины?

12. Как определяется плотность распределения двумерной случайной величины?

13. Как выражается функция распределения двумерной случайной величины через ее плотность распределения?

14. По каким формулам можно вычислить вероятность попадания значений двумерной случайной величины в заданный прямоугольник?

15. По какой формуле можно вычислить вероятность попадания значений двумерной случайной величины в заданную область?

16. Как определяется независимость двух случайных величин?

17. Как выражается необходимое и достаточное условие независимости двух случайных величин?

18. Что можно сказать о взаимной связи случайных величин X и Y,

зная их числовые характеристики М(Х), M(Y), D{X), D(Y)?

19. Что такое ковариация двух случайных величин?

20. Что называют коэффициентом корреляции?

21. Каковы свойства коэффициента корреляции?

22. Какая связь существует между равенством нулю коэффициента корреляции и независимостью случайных величин?