§ 2.3. Плотность распределения

Плотностью распределения (Плотность распределения называют также дифференциальной функ­цией распределения), вероятностей случайной величины X в точке х называется предел отношения вероятности попадания значении этой величины в интервал ( х, х + ∆ x) к длине ∆ x отрезка [х, х + ∆ x], когда последняя стремится к нулю:

(2.3.1)

График функции р (х) (плотности распределения) называется кри­вой распределения.

Интеграл от функции р(х) по промежутку (-∞, x) равен значению функции распределения F (х) для верхнего предела интегрирования, т.е.

(2.3.2)

Вероятность попадания значений случайной величины X в интервал ( α, β ) равна определенному интегралу от плотности распределения.

(2.3.3)

Плотность распределения обладает следующими свойствами.

1. Плотность распределения р(х) - неотрицательная функция, т.е.

р(х)≥0, (2.3.4)

Это следует из определения (2.3.1) и свойств вероятности.

2. В точках дифференцируемости функции распределения F(х) ее производная равна плотности распределения:

F (х) =р(х) (2.3.5)

(производная интегральной функции равна дифференциальной функции).

3. Интеграл по бесконечному промежутку ( - ∞, + ∞) от плотности распределения р(х) равен единице:

(2.3.6)

Если все возможные значения случайной величины принадлежат от­резку [α, β], то

(2.3.7)

так как р(х) — 0 вне этого отрезка.

Пример 1 . Плотность распределения случайной величины X задана функцией

Найти значение параметра с.

Р ешение. Плотность распределения должна удовлетворять условию (2.3.6), т.е. должно выполняться равенство

откуда

Неопределенный интеграл является табличным:

В ычислим несобственный интеграл: Следовательно, с═1/π; плотность распределения имеет вид

p(x)=

Пример 2. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией

p (x) =

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение из интервала (1, 2).

Решение. Искомую вероятность найдем по формуле (2.3.3):

P (1<X<2) = = 1 - = = 0,75.

Пример 3. Функция распределения случайной величины Х имеет вид

F(x) =

Найти ее плотность распределения.

Решение. Плотность распределения р(х) и функция распределения F(x) связаны соотношением (2.3.5).

В соответствии с равенством (2.3.5) находим:

р(х) = F’(x) = ( )’ = = при х 0;

p(x) = F’(x) =0 при х

Итак, плотность распределения вероятностей данной случайной величины определяется функцией

р(x) =

Замечание. Эта функция удовлетворяет условиям (2.3.4) и (2.3.6). Действительно,

= 0 + = - = - (0-1) = 1.

Пример 4. Найти функцию распределения случайной величины Х, плотность вероятности которой определена формулой

р(х) = (- <х<+ )

Решение. Применяя формулу (2.3.2), получаем

F(x) = = = =

Замечание. Полученная функция F(х) удовлетворяет условиям (2.2.7):

= · (- ) = = 0,

= · ( ) = = 1.

Пример 5. Дана функция

f(x) =

При каком значении постоянной с функция f(x) является плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины Х?

Решение. Прежде всего, должно быть с . Для определения значения с воспользуемся условием (2.3.6):

=1, c =1, =1,

Следовательно, плотность распределения имеет вид

р(x) =

Пример 6. Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х, плотность вероятности которой определена функцией

р(х)=

Решение. Чтобы найти функцию распределения F(x), воспользуемся формулой (2.3.2).

При получаем F(x) =

При 0 находим F(x) = = =0 + =

Когда 1 , то

F(x) = + = + = 0 + + (2t - ) = - (2- )= - +2x-1.

При х получаем F(x) = =F(2)+ = 1.

Рис. 2.9

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид

F(х)=

Рис. 2.10

Графики функций р(х) и F(х) изображены на рис. 2.9 и 2.10.

Пример 7. График плотности распределения вероятностей случайной величины Х изображен на рис. 2.11.

Записать аналитическое выражение для плотности вероятностей, найти функцию распределения.

Рис. 2.11

Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины:

р(х)=

В соответствии с формулой (2.3.2) находим функцию распределения:

при х получаем = 0;

при

F(x) = ;

при

F(x) = + = - = = 1 -

при х >1

F(x) = + = - = - 0 – (0 - )=1.

Следовательно, функція распределения имеет вид:

F(х)=

График функции распределения изображен на рис. 2.12.

Рис. 2.12

Пример 8. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х определяется функцией

р(х) = (k >0, 0 ).

Найти значение коэффициента а. Найти функцию распределения F(x) величины Х.

Решение. Значение коэффициента а определяем из равенств:

a = 1/

Двукратным интегрированием по частям находим:

+

Следовательно, а = и плотность распределения задана функцией р(х) = /2.

Функция распределения F(x) имеет вид

F(x) = = 1 - .

Пример 9. Задана функция f(x) = a . При каком значении а ее можно рассматривать как плотность распределения вероятностей некоторой случайной величины Х?

Решение. Если f(x) – плотность вероятности, то должно выполняться условие (2.3.6). Следовательно,

= a +a = a - a = a(1-0)-a(0-1) = 2a = 1, т.е. а=1/2.

Итак, функция р(х)= является плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины.

Пример 10. Случайная величина Х задана функцией распределения

F(x)=

Найти плотность распределения величины Х. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала ( .

Решение. Плотность вероятности р(х) и функция распределения F(x) случайной величины Х связаны соотношением (2.3.5), т.е. F’(x)=p(x). Следовательно,

р(х)=0 при х = 0 и х , р(х) = ((1- cos x)/2)’ = (sin x)/2

в интервале (0, ). По формуле (2.3.3) находим искомую вероятность

P( )=

Пример 11. Случайная величина Х имеет плотность распределения

р(х) = .

Найти значение параметра с, функцию распределения F(x).

Решение. В соответствии с условием (2.3.6) должно быть

Вычислим этот несобственный интеграл:

+

Следовательно, ; плотность вероятности определяется функцией

р(х) = .

По формуле (2.3.2) находим функцию распределения данной случайной величины Х:

F(x) = = = arctg = arctg ,

F(x) = arctg

Пример 12. Случайная величина Х задана функцией распределения

F(х)=

Найти плотность распределения случайной величины Х.

Решение. Пользуясь равенством (2.3.5), находим функцию р(х).

Так как

= + = ,

= ,

то плотность распределения случайной величины Х имеет вид

p(x) =

Задачи

1. Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций:

а)

б)

в)

г) f(x) = ( )?

2. Функция распределения случайной величины Х задана формулами

F(x) =

Найдите значение коэффициента с и плотность распределения вероятностей случайной величины Х.

3. Функция распределения случайной величины Х имеет вид F(x)=

Найдите плотность распределения случайной величины Х. Чему равна вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (0‚5; 1)?

3. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией

р(х) =

Найдите вероятность того, что значение случайной величины Х принадлежит интервалу (2, 3)

3. Функция распределения случайной величины Х имеет вид

F(x) =

Найдите плотность распределения р(х) этой случайной величины. Чему равна вероятность того, что значение случайной величины Х принадлежит интервалу (0‚5; 1)?

3. График плотности распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид, изображенный на рис. 2.13.

Запишите аналитическое выражение для плотности распределения р(х). Найдите функцию распределения случайной величины Х.

Рис. 2.13

Ответы

1. а) да; б)нет; в) да; г) нет (f(x)<0 при x<0) 2. c=1;

p(x)=

3. p(x)=

4. 0,2. 5. р=0,5. 6. Указание. См. пример 7.

Вопросы

1. Что называют плотностью распределения случайной величины?

2. Как по-другому называют плотность распределения?

3. Что называют кривой распределения?

4. Как с помощью плотности распределения найти вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал ( )?

5. Какие свойства имеет плотность распределения?

б. Как выражается функция распределения через плотность распределения?

7. Как выражается плотность распределения через функцию распределения?