Гпава 1. События и вероятности § 1.1. Классификация событий

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление опре­деленного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют со­бытием. Например, опытом является подбрасывание монеты, а собы­тиями "герб", "цифра на верхней ее стороне" (когда монета упадет). Опытами являются стрельба по мишени, извлечение шара из ящика и т.п. События будем обозначать заглавными буквами латинского алфави­та А, В, С,...

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обяза­тельно произойдет в этом опыте. Например, если в ящике находятся только голубые шары, то событие "из ящика извлечен голубой шар" яв­ляется достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).

Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте. Так, если в ящике находятся только красные шары, то событие "из ящика извечен голубой шар" является невозможным (таких шаров в ящике нет).

Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте. Например, если в ящике находятся п голубых и т красных шаров, одинаковы по размеру и весу, то событие "из урны извлечен голубой шар" является случайным (оно может произойти, а может и не произойти, поскольку в урне име­ются не только голубые, но и красные шары). Случайными событиями яшшотся "герб" и "цифра на верхней стороне монеты при ее подбрасы- мвн*. "попадание и промах при стрельбе по мишени", "выигрыш по бнягту лотереи' и т.п.

Замечание. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом - невозможным. в третьем - случайным. Говоря о достоверности, невозможности, слу-

чейностн события, имеют в виду сю достоверность, невозможность, случай ность по отношению к конкретному опыту, т.е. к наличию определенного ком­плекса условий или действий.

Два события называются совместными в данном опыте, если появ­ление одного из них не исключает появление другого в этом опыте. Так, при подбрасывании двух симметричных монет, события А - "герб на верхней стороне первой монеты" и В - "цифра на верхней стороне вто­рой монеты" являются совместными.

Два события называются несовместными, если они не могут про­изойти вместе при одном и том же испытании. Например, несовместны­ми являются попадание и промах при одном выстреле.

Несколько событий называются несовместными, если они попарно- несовместны.

Два события называются противоположными, если появление од­ного из них равносильно непоявлению другого. Так, противоположными являются события "герб" и "цифра" при одном подбрасывании симмет­ричной монеты. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают А . Например, если А - "попадание", то А - "промах" при одном выстреле по мишени.

Множество событий А_и А₂, А„ называют полной группой собы­тий, если они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием. Поясним понятие полной груп­пы событий на следующем примере. Рассмотрим события, появляющие­ся при подбрасывании игрального кубика (т.е. кубика, на гранях которо­го записаны цифры 1,2, 3,4, 5, 6 или изображены знаки, соответствую­щие этим цифрам). Когда кубик упадет, то верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр. Событие: "верхней гранью оказалась грань с цифрой к" обозначим через А* (к= 1,2,3,4,5,6). События А\,А₂, ЛьЛ+ЛьЛб образуют полную группу: они попарно-несовместны; появ­ление одного и только одного из них является достоверным событием (когда кубик упадет, то только одна из граней окажется верхней, на ней написана только одна из цифр от 1 до 6).

События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что оно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндриче­скую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней. При подбрасывании игральног

л4, А₆ являются равновозможными, п скольку предполагается, что кубик изготовлен из однородного матрма-

ла, имеет правильную форму и наличие цифр (или очков) на гранях не влияет на то, какая из шести граней окажется верхней.

Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называет­ся элементарным исходом {элементарным событием, или шансом). Например, события А _ь А₂, А_3} А_4у А₅₎ А₆ - элементарные исходы при под­брасывании кубика.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, на­зываются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами. Так, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы А_г> А₄, А б являются благоприятствующими событию "выпало четное число очков".

Пример 1. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывают- ся суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение. Полную группу событий образуют равновозможные эле­ментарные исходы (к; т\ к, т= 1, 2, 3, 4, 5, 6, представленные в табли­це 1.1. Элементарный исход (к; т) означает, что на первом кубике выпа­ло к очков, на втором т очков (к, т = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Например, (3; 4) - на первом кубике 3 очка, на втором - 4 очка.

Таблица 1.1.

0;1)	(2;1)	(3;1)	(4;1)	(5;1)	(6;1)
02)	(2;2)	(3;2)	(4 Л)	(5;2)	(6;2)
03)	(2;3)	(3;3)	(4;3)	(5;3)	(6;3)
0;4)	(2;4)	(3;4)	(4;4)	(5;4)	(6;4)
(1;5)	(2;5)	(3;5)	(4;5)	(5;5)	(6;5)
0*)	(2;6)	(3;6)	(4;6)	(5,6)	(6;6)

Пример 2. Сколько элементарных исходов благоприятствует собы­тию "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков" при подбрасы­вании двух игральных кубиков?

Решение. Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исхо­дов (см. табл. 1.1): <1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).

Пример 3. Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию бюагоскриятствует больше элементарных исходов: "сумма выпавших оч- вдв равна 7", "сумма выпавших очков равна 8"?

Решение. Событию "сумма выпавших очков равна 7" благоприятст­вуют 6 исходов (см. табл. 1.1): (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1). Собы­тию "сумма выпавших очков равна 8" благоприятствуют 5 исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2). Следовательно, первому событию благо­приятствует больше элементарных исходов.

Пример 4. Подбрасываются три игральных кубика, подсчитывают- ся суммы очков, выпавших на них. Сколькими способами можно полу­чить в сумме 5 очков, 6 очков?

Решение. Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1;1;3), (1;3;1), (3;1;1), (1;2;2), (2;1£), (2;2;1). Получить в сумме 6 очков можно десятью способами: (1;1;4), (1;4;1), (4;1;1), (1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1), (2;2;2).

Замечание. Запись (3;2;1) означает, что на первом кубике выпало 3 оч­ка, на втором - 2, на третьем - 1.

Задачи

1. Являются ли несовместными следующие события:

а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - "появление герба", В - "появление цифры";

б) опыт - два выстрела по мишени; события: А - "хотя бы одно попадание"; В - "хотя бы один промах".

2. Являются ли равновозможными следующие события:

а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - "появление герба", В - "появление цифры";

б) опыт - подбрасывание погнутой монеты; события: А - "появ­ление герба", В - "появление цифры";

в) опыт - выстрел по мишени; события: А - "попадание", В - "промах".

2. Образуют ли полную группу событий следующие события:

а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - "герб", В - "цифра";

б) опыт - подбрасывание двух симметричных монет; события: А - "два герба", В - "две цифры".

2. Опыт - подбрасывание двух игральных кубиков. Сколько элемен­тарных исходов благоприятствуют событию - выпало очков: 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10, 11, 12?

3. Опыт - подбрасывание трех игральных кубиков. Сколько всего элементарных исходов? Сколько элементарных исходов благоприятст-

вуют событию - на трех йубшах вкшвяо отав: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12? Каково наибольшее значение суммы выпавших очков?

Ответы

1. а) да; б) нет. 2. а) да; б) нет; в) в общем случае нет. 3. а) да; б) нет. 4.1, 2, 3_? 4, 5. 6, 5,4, 3,2, 1.5. п = б³ = 216; 1,3,6,10,15,21,25,27,27,25; 18.

Вопросы

1. Что называют опытом, или испытанием?

2. Что называют событием?

3. Какое событие называют достоверным в данном опыте?

4. Какое событие называют невозможным в данном опыте?

5. Какое событие называют случайным в данном опыте?

6. Какие события называют совместными в данном опыте?

7. Какие события называют несовместными в данном опыте?

8. Какие события называют противоположными?

9. Какие события считают равновозможными?

10. Что называют полной группой событий?

11. Что называют элементарным исходом?

12. Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному событию?

13. Что представляет собой полная группа событий при подбрасы­вании одной монеты?

14. Что представляет собой полная группа событий при подбрасы­вании двух монет?