5.2 Принцип минимакса

Рассмотренный выше ход рассуждений по поиску наилучшего плана игры в условиях конкуренции – не единственный способ решения задач. Очень часто намного короче и, главное, более логически стройным оказывается другой принцип поиска оптимальных игровых стратегий – принцип минимакса.

Для иллюстрации этого метода рассмотрим предыдущий пример игры с несколько видоизмененной матрицей.

ПРИМЕР 2.

Таблица 5.2

	С1	С2
S1	-2000	-4000
S2	-1000	+3000
S3	+1000	+2000

Повторим метод рассуждений, использованный для предыдущего примера.

Мы никогда не выберем стратегию S₁, поскольку она при любом ответе конкурента принесет нам значительные убытки. Из двух оставшихся разумнее выбрать S₃, так как при любом ответе конкурента мы получим прибыль.

Итак, выбираем в качестве оптимальной стратегии вариант S₃.

Рассуждения нашего конкурента окажутся примерно такими: понимая, что мы никогда не примем S₁ и выберем, в конце концов, S₃, он примет решения считать оптимальной для себя стратегию C₁ – в этом случае он будет иметь наименьшие убытки.

Можно применить иной метод рассуждений, дающий, в конце концов, тот же результат. При выборе наилучшего плана игры для нас можно рассуждать так:

• При выборе S₁ минимальный (min) «выигрыш» составит – 4000 у.е.;

• При выборе S₂ минимальный (min) «выигрыш» составит – 1000 у.е.;

• При выборе S₃ минимальный (min) «выигрыш» составит + 1000 у.е.;

Получается, что наибольший (max) из наименьших (min) выигрышей – это 1000 у.е. и логично полагать оптимальной соответствующую стратегию S₃, предполагая ответный ход конкурента – вариант С₁. Такая стратегия называется MaxiMin.

При выборе наилучшего плана игры для нашего конкурента можно рассуждать так:

• При выборе С₁ максимальный (max) «проигрыш» составит + 1000 у.е.;

• При выборе С₂ максимальный (max) «проигрыш» составит + 2000 у.е.;

Получается, что наименьший (min) из наибольших (max) проигрышей – это 1000 у.е. и логично полагать оптимальной соответствующую стратегию С₁. Такая стратегия называется MiniMax.

Легко заметить, что это одно и то же – вы делаете ход S₃ в расчете на ответ С₁, а ваш конкурент – ход С₁ в расчете на S₃. Поэтому такие стратегии называют минимаксными (MiniMax) – мы надеемся на минимум максимальных убытков или, что одно и то же, на максимум минимальной прибыли.

В двух рассмотренных примерах оптимальные стратегии «противников» совпадали, принято говорить – они соответствовали седловой точке матрицы игры.

Метод минимакса отличается от стандартного пути логических рассуждений таким важным показателем, как алгоритмичность. В самом деле, можно доказать, что если седловая точка существует, то она находится на пересечении некоторой строки S и некоторого столбца С таких, что в этой точке самое большое для данной строки число и одновременно самое малое число для данного столбца. Но далеко не все игры обладают седловой точкой. Рассмотрим еще один пример, но уже без седловой точки.

ПРИМЕР 3.

Таблица 5.3

	С1	С2
S1	-3000	+7000
S2	+6000	+1000

Решение. Задача в этом случае для нас и для нашего конкурента будет заключаться в смене стратегий, в надежде найти такую их комбинацию, при которой математическое ожидание выигрыша или средний выигрыш за некоторое число ходов будет максимальным.

Пусть мы приняли решение половину ходов в игре делать с использованием S₁, а другую половину – с S₂. Конечно, мы не может знать, какую из своих двух стратегий будет применять конкурент, поэтому придется рассматривать два крайних случая его поведения.

Если конкурент все время будет применять С₁, то для нас выигрыш составит у.е.

Если конкурент все время будет применять С₂, то для нас выигрыш составит у.е.

Можно прикинуть также, что мы будем иметь в случае применения конкурентом смешанной стратегии – мы будем иметь выигрыш не менее 1500 у.е., поскольку выполненные выше расчеты охватили все варианты смешанных стратегий конкурента.

Поставим вопрос в более общем виде – а существует ли наилучшая смешанная стратегия (комбинация S₁ и S₂) для нас в условиях применения смешанных стратегий (комбинации С₁ и С₂) со стороны конкурента? Математическая теория игр позволяет ответить на этот вопрос утвердительно – оптимальная смешанная стратегия всегда существует, но она может гарантировать минимум математического ожидания выигрыша. Системный анализ не может дать рецепта для безусловного получения выигрыша. Кроме того, остается риск возможного проигрыша даже при применении оптимальной стратегии игры, ведь выигрыш гарантируется лишь при очень большом числе ходов.

Выясним все же оптимальную стратегию для нашего примера.

Пусть мы применяем стратегию S₁ с частотой , а стратегию S₂ с частотой (1-). Тогда мы будем иметь выигрыш при применении конкурентом стратегии С₁, или при применении конкурентом стратегии С₂ будем иметь выигрыш .

Теория игр позволяет найти наилучшую для нас стратегию из условия

.

Получим, что  =1/3, следовательно, математическое ожидание выигрыша величиной у.е.