3.4.2 Одноканальные смо с неограниченной длиной очереди.

Будем рассматривать системы, удовлетворяющие требованиям: (Р/Е/1):(d/¥/¥). Система может находиться в одном из состояний E₀, …, E_k, … Анализ показывает, что через некоторое время такая система начинает работать в стационарном режиме, если интенсивность выходного потока превышает интенсивность входного потока (т.е. коэффициент загрузки системы меньше единицы). Учитывая это условие, получим систему уравнений

решая которую найдем, что . Таким образом, при условии, что y<1, получим Окончательно, и – вероятность нахождения СМО в состоянии Е_k в случайный момент времени.

Средние характеристики системы.

За счет неравномерного поступления требований в систему и колебания времени обслуживания, в системе образуется очередь. Для такой системы можно исследовать:

• n – количество требований, находящихся в СМО (в очереди и на обслуживании);

• v – длину очереди;

• w – время ожидания начала обслуживания;

• w₀ – общее время нахождения в системе.

Нас будут интересовать средние характеристики (т.е. берем математическое ожидание от рассматриваемых случайных величин, и помним, что y<1).

- среднее число заявок в системе.

- средняя длина очереди.

- среднее время ожидания начала обслуживания, т.е. время ожидания в очереди.

- среднее время, которое заявка проводит в системе – в очереди и на обслуживании.

ПРИМЕР.

На автомойке один блок для обслуживания и есть место для очереди. Автомобили прибывают по пуассоновскому распределению с интенсивностью 5 авто/час. Среднее время обслуживания одной машины – 10 минут. Найти все средние характеристики СМО.

Решение. l=5, m =60мин/10мин = 6. Коэффициент загрузки y =5/6. Тогда среднее число автомобилей в системе , средняя длина очереди , среднее время ожидания начала обслуживания часа = 50 мин, и, наконец, среднее время нахождения в системе час.

3.4.3 Одноканальные смо смешанного типа.

Предположим, что длина очереди составляет m требований. Тогда, для любого s£ m, вероятность нахождения СМО в состоянии Е_1+s, вычисляется по формуле , т.е. одна заявка обслуживается и еще s заявок – в очереди.

Вероятность простоя системы равна ,

а вероятность отказа системы - .

ПРИМЕР.

Даны три одноканальные системы, для каждой l=5, m =6. Но первая система – с отказами, вторая – с чистым ожиданием, а третья – с ограниченной длиной очереди, m=2. Найти и сравнить вероятности простоя этих трех систем.

Решение. Для всех систем коэффициент загрузки y =5/6. Для системы с отказами . Для системы с чистым ожиданием . Для системы с ограниченной длиной очереди . Вывод очевиден: чем больше заявок находится в очереди, тем меньше вероятность простоя системы.

3.5 Многоканальные смо.

3.5.1 Многоканальные смо с отказами.

Будем рассматривать системы (Р/Е/s):(-/s/¥) в предположении, что время обслуживания не зависит от входного потока и все линии работают независимо. Многоканальные системы, помимо коэффициента загрузки, можно также характеризовать коэффициентом , где s – число каналов обслуживания. Исследуя многоканальные СМО, получим следующие формулы (формулы Эрлáнга) для вероятности нахождения системы в состоянии Е_k в случайный момент времени:

, k=0, 1, ...

Функция стоимости.

Как и для одноканальных систем, увеличение коэффициента загрузки ведет к увеличению вероятности отказа системы. С другой стороны, увеличение количества линий обслуживания ведет к увеличению вероятности простоя системы или отдельных каналов. Таким образом, необходимо найти оптимальное количество каналов обслуживания данной СМО. Среднее число свободных линий обслуживания можно найти по формуле . Введем С(s) – функцию стоимости СМО, зависящую от с₁ – стоимости одного отказа (штрафа за невыполненную заявку) и от с₂ – стоимости простоя одной линии за единицу времени.

Для поиска оптимального варианта надо найти (и это можно сделать) минимальное значение функции стоимости: С(s) = с_1*l_*p_s+с_{2* ,} график которой представлен на рисунке 3.3:

Рисунок 3.3

Поиск минимального значения функции стоимости состоит в том, что мы находим ее значения сначала для s =1, затем для s =2, потом для s =3, и т.д. до тех пор, пока на каком-то шаге значение функции С(s) не станет больше предыдущего. Это и означает, что функция достигла своего минимума и начала расти. Ответом будет то число каналов обслуживания (значение s), для которого функция стоимости минимальна.

ПРИМЕР.

Сколько линий обслуживания должна содержать СМО с отказами, если l=2треб/час, m =1треб/час, штраф за каждый отказ составляет 7 тыс.руб., стоимость простоя одной линии – 2 тыс.руб. в час?

Решение. y =2/1=2. с₁=7, с₂=2.

Предположим, что СМО имеет два канала обслуживания, т.е. s =2. Тогда . Следовательно, С(2) = с₁*l*p₂+с₂*(2-y*(1-р₂))= =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Предположим, что s =3. Тогда , С(3) = с₁*l*p₃+с₂* =5.79.

Предположим, что имеется четыре канала, т.е. s =4. Тогда , , С(4) = с₁*l*p₄+с₂* =5.71.

Предположим, что СМО имеет пять каналов обслуживания, т.е. s =5. Тогда , С(5) =6.7 – больше предыдущего значения. Следовательно, оптимальное число каналов обслуживания – четыре.