3.1 Модели систем массового обслуживания.

Каждую СМО может характеризовать выражением: ( a / b / c ) : ( d / e / f ), где

a - распределение входного потока заявок;

b - распределение выходного потока заявок;

c - конфигурация обслуживающего механизма;

d - дисциплина очереди;

e – блок ожидания;

f - емкость источника.

Теперь рассмотрим подробнее каждую характеристику.

Входной поток заявок – количество поступивших в систему заявок. Характеризуется интенсивностью входного потока l.

Выходной поток заявок – количество обслуженных системой заявок. Характеризуется интенсивностью выходного потока m.

Конфигурация системы подразумевает общее число каналов и узлов обслуживания. СМО может содержать:

1. один канал обслуживания (одна взлетно-посадочная полоса, один продавец);

2. один канал обслуживания, включающий несколько последовательных узлов (столовая, поликлиника, конвейер);

3. несколько однотипных каналов обслуживания, соединенных параллельно (АЗС, справочная служба, вокзал).

Таким образом, можно выделить одно- и многоканальные СМО.

С другой стороны, если все каналы обслуживания в СМО заняты, то подошедшая заявка может остаться в очереди, а может покинуть систему (например, сбербанк и телефонная станция). В этом случае мы говорим о системах с очередью (ожиданием) и о системах с отказами.

Очередь – это совокупность заявок, поступивших в систему для обслуживания и ожидающих обслуживания. Очередь характеризуется длиной очереди и ее дисциплиной.

Дисциплина очереди – это правило обслуживания заявок из очереди. К основным типам очереди можно отнести следующие:

1. ПЕРППО (первым пришел – первым обслуживаешься) – наиболее распространенный тип;

2. ПОСППО (последним пришел – первым обслуживаешься);

3. СОЗ (случайный отбор заявок) – из банка данных.

4. ПР – обслуживание с приоритетом.

Длина очереди может быть

• неограничена - тогда говорят о системе с чистым ожиданием;

• равна нулю – тогда говорят о системе с отказами;

• ограничена по длине (система смешанного типа).

Примером СМО с чистым ожиданием можно считать погрузочно-разгру­зочное депо. В основном же ограничение на длину очереди накладывает размер места для размещения очереди (например, автостоянки или помещения).

Блок ожидания – «вместимость» системы - общее число заявок, находящихся в системе (в очереди и на обслуживании). Таким образом, е=с+d.

Емкость источника, генерирующего заявки на обслуживание – это максимальное число заявок, которые могут поступить в СМО. Например, в аэропорту емкость источника ограничена количеством всех существующих самолетов, а емкость источника телефонной станции равна количеству жителей Земли, т.е. ее можно считать неограниченной.

Количество моделей СМО соответствует числу всевозможных сочетаний этих компонент.

3.2 Входной поток требований.

С каждым отрезком времени [a,a+T ], свяжем случайную величину Х, равную числу требований, поступивших в систему за время Т.

Поток требований называется стационарным, если закон распределения не зависит от начальной точки промежутка а, а зависит только от длины данного промежутка Т. Например, поток заявок на телефонную станцию в течение суток (Т=24 часа) нельзя считать стационарным, а вот с 13 до 14 часов (Т=60 минут) – можно.

Поток называется без последействия, если предыстория потока не влияет на поступления требований в будущем, т.е. требования не зависят друг от друга.

Поток называется ординарным, если за очень короткий промежуток времени в систему может поступить не более одного требования. Например, поток в парикмахерскую – ординарный, а в ЗАГС – нет. Но, если в качестве случайной величины Х рассматривать пары заявок, поступающих в ЗАГС, то такой поток будет ординарным (т.е. иногда неординарный поток можно свести к ординарному).

Поток называется простейшим, если он стационарный, без последействия и ординарный.

Основная теорема. Если поток – простейший, то с.в. Х_[a.a+T] распределена по закону Пуассона, т.е. .

Следствие 1. Простейший поток также называется пуассоновским.

Следствие 2. M(X)=M(Х_{[ a, a+T ]} )=lT, т.е. за время Т в систему в среднем поступает lT заявок. Следовательно, за одну единицу времени в систему поступает в среднем l заявок. Эта величина и называется интенсивностью входного потока.

Рассмотрим ПРИМЕР.

В ателье поступает в среднем 3 заявки в день. Считая поток простейшим, найти вероятность того, что в течение двух ближайших дней число заявок будет не менее 5.

Решение.

По условию задачи, l=3, Т=2 дня, входной поток пуассоновский, n ³5. при решении удобно ввести противоположное событие, состоящее в том, что за время Т поступит меньше 5 заявок. Следовательно, по формуле Пуассона, получим