2.5 Принятие решений на основе метода системного анализа иерархий

Метод анализа иерархий есть современный путь решения многокритериальных задач в сложном виде системы с иерархическими структурами и уровнями. Экономическая система, как правило, представляет собой множество взаимозависимых компонент (ресурсы, желаемые исходы, цели, лица или группа лиц, принимающих решения и т.д.), которое нужно детально проанализировать. Этот метод стал зарождаться осенью 1981 года, когда его основатель – экономист Томас Саати стал работать над проблемами планирования в непредвиденных обстоятельствах для Минобороны США. Появление шкалы для численной обработки суждений относится к событиям в экономике Египта и Судана 1983-1986 гг.

Центральным вопросом, на который отвечает метод анализа иерархий, является следующий: насколько сильно влияют отдельные факторы нижележащего уровня иерархии на предыдущие отдельные факторы более высоких уровней? В связи с этим, как выделить приоритеты и ввести шкалу соответствующих измерений при принятии управленческих решений?

2.5.1 Идеальная матрица сравнений. Обратно-симметричные и согласованные матрицы

Попробуем очертить идеальную матрицу сравнений. Допустим, что n видов действия или объектов рассматриваются лицом, принимающим решения (ЛПР). Предположим, что цели следующие: высказать суждения об относительной важности предложенных объектов или видов действия; гарантировать такой процесс получения суждений, который позволит качественно интерпретировать суждения по каждому из входящих объектов.

Пусть - данная совокупность объектов (или видов возможных действий). Количественные суждения о парах объектов , входящих в рассматриваемую систему S, представим матрицей размера , имеющей вид: .

Элементы матрицы А зададим по следующим правилам:

Правило 1: Если , то элемент , где ;

Правило 2: Если суждения (относительно рассматриваемых объектов) таковы, что объект имеет одинаковую с объектом относительную важность, то элемент и элемент . В частности для всех номеров .

Матрица А, отвечающая правилам 1,2, называется идеальной матрицей сравнения объектов (Р).

Легко понять, что для любых номеров i, k и l справедливо равенство ( вытекает из правила 1), но лишь для некоторых матриц.

Рассмотрим теперь произвольную квадратную положительную матрицу порядка n. Назовем матрицу обратно-симметричной (ОСМ), если для любых номеров i и j выполняется соотношение ; в частности для всех номеров . Назовем матрицу А согласованной, если для любых номеров i, k и l выполняется равенство . Видно, что идеальная матрица сравнений включает в себя обратно-симметричные и согласованные матрицы. Упомянем без доказательства, что положительная обратно-симметричная матрица А является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы А равен ее наибольшему собственному значению, т.е. . В частности, для таких матриц ее норма .

«Пошевелим» (изменим незначительно) элементы ОСМ . Можно заметить, что и ее максимальное собственное значение изменится незначительно.

Рассмотрим теперь положительную обратно-симметричную матрицу А. Как известно, она согласованная лишь тогда, когда . Для произвольной матрицы А ясно, что не обязательно равно , но можно видеть, что .

В качестве степени согласованности матрицы А возьмем отношение . Назовем это отношение индексом согласованности (ИС) матрицы А. В современной литературе считается, что, если ИС не превосходит 10%, то можно быть удовлетворенным степенью высказываемых в дальнейшем суждений об относительной важности объектов системы S.