132 Первая теорема Вейерштрасса

первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk, сходящуюся к x0∈[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn)точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk), которая сходится к точке x0∈[a;b] : limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)). С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞ (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметьlimk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

131 Теорема Коши (о промежуточных значениях функции)

Если функция f непрерывна на отрезке [а, b] и , то для каждого значения С, заключенного между f(а) и f(b), найдется точка K [а, b] такая, что f(K) = С.

О Обозначим f(а) = A, f(b) = В. По условию А В. Пусть, например, А < В. Нужно доказать, что

:f(K)= С (24)

Если С=А, то утверждение (24) выполняется при K=а, а если С=B, то (24) имеет место при =b. Поэтому достаточно рассмотреть случай А < С < В.

Пусть ф(х) = f(x) - С, тогда ф(a) =A-C<0, ф(b) = В - С > 0, и по теореме 5 найдется точка такая, что ф( ) = 0, т. е. f( ) = C. Утверждение (24) доказано.

130 Теорема Больцано-Коши (о нуле функции)

это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что

Следствия (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное иотрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть и Тогда такое, что