173 Определение горизонтальной асимптоты графика функции Пусть функция y=f(x) определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции lim f(x)=b . Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции y=f(x) . 172 Определение наклонной асимптоты Пусть функция y=f(x) определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределы lim f(x)/x=k и lim (f(x)-kx)=b. Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x). Заметим, что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет. Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть односторонней. 171 Определение вертикальной асимптоты графика функции. Пусть функция y=f(x) определена хотя бы в некоторой полуокрестности точки  x=a и хотя бы один из ее односторонних пределов в этой точке бесконечен, т.е. равен -~ или +~. Тогда прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции. Таким образом,  вертикальные асимптоты графика функции следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (если это конечные числа)

170 Определение асимптоты графика функции. Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x,f(x)) графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. 169  Достаточные условия перегиба графика функции. 1. Если функция   непрерывна в точке   и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если   меняет знак при переходе через точку  , то точка   -  точка перегиба функции  .

Доказательство

Пусть   меняет знак с «-» на «+», тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция   на интервале   функция будет строго выпукла вверх, на интервале   — строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку  направление выпуклости изменяется   по определению  - точка перегиба.

Вкратце:

1. первая производная   непрерывна в окрестности точки  ;

2. вторая производная   или не существует в точке  ;

3.  при переходе через точку   меняет свой знак,

тогда в точке   функция   имеет перегиб.

168 Теорема о необходимом условии перегиба графика функции.

Если точка   — точка перегиба функции   и если   в некоторой окрестности точки   (непрерывная в точке  ), то  .

Доказательство

Докажем методом от противного, т.е предположим, что  . Тогда  либо  . По условию   непрерывна в точке     по свойству сохранения знака непрерывной функции получим:  :  ,  , т.е по достаточному условию строгой выпуклости     (функция выпукла вниз) или    (функция выпукла вверх). Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точку   направление выпуклости меняется.

167 Определение точки перегиба графика функции

Точка перегиба функции — это точка, в которой существует касательная к графику и существует такая окрестность точки  , в которой график имеет разные направления выпуклости. (либо Точкой перегиба графика функции   называется точка  , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.)

166 Определение выпуклости графика функции вверх

График функции f(x) называется на интервале ( a, b ) выпуклым вверх если график у=f(x) лежит ниже любой касательной, проведенной к графику в этом интервале.

165 Определение выпуклости графика функции вниз

График функции f(x) называется на интервале ( a, b ) выпуклым вниз если график у=f(x) лежит выше любой касательной, проведенной к графику в этом интервале.

164 Теорема о достаточных условиях экстремума фоп.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция   дифференцируема в некоторой окрестности точки  , кроме, быть может, самой точки   и непрерывна в этой точке. Тогда:

1. Если производная   меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку  :   и  , то   — точка строго минимума функции 

2. Если производная   меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку  :   и   , то   — точка строго максимума функции 

Доказательство

Пусть, например,   меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку   на сегменте  Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа:  ,  . Поскольку при переходе через точку   функция меняет знак с «-» на «+», то   и  , то    Аналогично рассмотрим сегмент  , получим            — точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если   — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная   меняет знак при переходе через точку 

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция  ,  ее первая производная   и пусть  , тогда:

1. Если  , то точка   — точка строгого минимума;

2. Если  , то точка   — точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда  . Поскольку   непрерывна, то на достаточно малом интервале  , т.к  , то   возрастает в этом интервале.  , значит   на интервале   и    на интервале  . Таким образом функция   убывает на интервале   и возрастает на интервале     по первому достаточному условию экстремума функция в точке  имеет минимум. Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если   и  , то функция   может и не иметь экстремум в точке 

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше 2х)

Пусть  ,   и  ,   Тогда:

1. Если   (т.е   — четное), то   — точка экстремума:

   • если  , то   — точка локального максимума;

   • если  , то   — точка локального минимума;

2. Если   (т.е   — нечетное), то   — не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки   с остатком в форме Пеано: . Поскольку все производные до   порядка включительно=0 получим:   Запишем полученное выражение в виде: . Выражение  . Пусть      ,  .