Раздел 2 Линейные измерительные системы

2.1.Волновые уравнения

Рассмотрим жидкую идеальную сжимаемую среду. Система уравнений гидродинамики , описывающее изоэнтропическое движение среды включает уравнение движения, уравнение неразрывности и уравнение состояния

(2.1)

где - плотность;

P- давление;

- вектор скорости;

оператор Гамильтона;

div- оператор дивергенции.

Если среда является сплошной и однородной, уравнение состояния принимает вид

для жидкости; (2.2)

- для газа, (2.3)

где -параметры невозмущенной среды;

,n, -константы.

Полагая движение среды потенциальным, введем в рассмотрение потенциал скоростей

Введем обозначения

(2.4)

Для жидкости, учитывая уравнения состояния (2.2), получим:

(2.5)

Для газа, с учетом (2.3)

(2.6)

Давление в жидкости при известном потенциале скоростей определяется выражением

(2.7)

где - невозмущенная скорость звука, равная

- для жидкости;

- для газа.

Для скорости звука получим следующее представление , исходя из выражения

c= .

Для жидкости

. (2.8)

Для газа

. (2.9)

Можно показать, что система уравнений (2.1), (2.2) эквивалентна нелинейному волновому уравнению в классе потенциальных течений среды

(2.10)

Используя представление (2.8) для скорости звука, уравнение (2.10) преобразуем к виду

. (2.11)

Если в уравнении (2.10) ограничиться удержанием квадратичной нелинейности, то последнее следует записать в виде

. (2.12)

Представляет интерес волновое уравнение с местной скоростью звука, которое получается из (2.11) отбрасыванием правой части

. (2.13)

Уравнение (2.13) эквивалентно уравнению вида

. (2.14)

Уравнение (2.14) похоже на уравнение (2.12), но, с одной стороны, оно содержит член с кубической нелинейностью, а, с другой стороны, в нем отсутствует один из членов с квадратической нелинейностью.

При последовательной линеаризации нелинейного уравнения (2.10) вводится малый параметр

(2.15)

При этом уравнение (2.7) и (2.10) распадаются на рекуррентную систему

( 2.16)

(2.17)

В дальнейшем ограничимся рассмотрением симметричных волновых движений акустической среды.

,

где v=0,1,2;

Отметим, что устремляя в любом из волновых уравнений скорость звука к бесконечности, получим уравнение Лапласа, описывающее движение несжимаемой среды.

2.2 Метод нелинейного преобразования времени

Рассмотрим генерирование волн давления нестационарно движущимся в сжимаемой жидкости (акустической среде) плоским поршнем. Конструктивно это может быть достигнуто движением поршня в трубе. Полагаем, что скорость движения поршня достаточно мала по сравнению со скоростью звука в среде, так что квадратом этого отношения по сравнению с единицей можно пренебречь. Однако, полагаем, что перемещения поршня значительны настолько, что граничное условие необходимо задавать на текущем положении возмущающей границы. С учетом сказанного математическую постановку задачи запишем в виде

(2.18)

(2.19)

где - потенциал скоростей возмущенного движения среды,

х - координата,

t - время,

С₀ - скорость звука в среде,

- скорость движения поршня;

-закон движения поршня, но в общем случае .

Начальные условия полагаем нулевыми, т.е. полагаем

(2.20)

При известном потенциале скоростей скорость среды и давление в среде определяются выражениями

Рис. 2.1. Плоский поршень в трубе с жидкостью

, (2.21)

(2.22)

где р₀ - плотность среды.

Решение поставленной задачи (2.18)- (2.22) будем искать методом нелинейного преобразования времени. В соответствии с этим методом решение волнового уравнения (2.18) запишем в виде

(2.23)

, (2.24)

где - волновой аргумент ( ),

Р - неизвестная (искомая) функция волнового аргумента, определяемая из граничного условия (2.19).

Подставляя решение (2.23) в граничные условия (2.19), получаем соотношение вида

(2.25)

Для решения уравнения (2.25) воспользуемся преобразованием времени

(2.26)

исходя из которого получаем обратную функцию

(2.27)

где -время.

Заметим, что преобразование вида (2.26), (2.27) лежит в основе метода нелинейного преобразования времени, как метода решения волновых задач с подвижными границами. При условии, что функция Н_R (t) является однозначной и непрерывной и при выполнении неравенства можно утверждать, что обращение (2.27) однозначно.

С учетом преобразования (2.26), (2.27) уравнение (2.28) принимает вид

(2.28)

Интегрируя уравнение (2.28) по , получаем

(2.29)

Учитывая, что решение волнового уравнения должно быть функцией волнового аргумента в (2.19) принимаем Тогда получаем решение краевой задачи в виде

(2.30)

Скорость среды и давления в среде находим в виде

V(x,t)= (2.31)

Остановимся на определении обратной функции из соотношения (2.26). В ряде случаев задания закона H(t) обратное преобразование (2.27) можно получить из решения алгебраического уравнения (2.26). Например, пусть Тогда

и ,

где М₀ =

Если функция представлена в виде степенного ряда, то

решение уравнения (2.27) проводится в соответствии с формулами обращения степенных рядов. Так, если

(2.32)

(2.33)

При этом преобразовании коэффициенты ряда (2.32) определяются по формуле

(2.34)

Наконец, при выполнении условия можно воспользоваться методом последовательных приближений

, (2.35)

Аналогичным образом находятся последующие приближения. В большинстве случаев практики можно ограничиться первым приближением.