§16. Непрерывность элементарных функций.
Определение 1. Простейшими
элементарными функциями
называются следующие функции:
.
Определение 2. Класс элементарных функций состоит из простейших элементарных функций и всех тех функций, которые могут быть получены из них при помощи любого конечного числа арифметических операций и композиций.
Отметим, что элементарными функциями
являются степенные функции, т.к.
,
и алгебраические многочлены. Функции
и многие другие также принадлежат классу
элементарных функций (действительно,
,
,
).
Теорема. Любая из элементарных функций непрерывна всюду, где она определена.
Доказательство. Ввиду теорем о непрерывности суммы, произведения, отношения и композиции непрерывных функций нам достаточно проверить непрерывность простейших элементарных функций.
Константы, очевидно, представляют собой
непрерывные функции. Далее, взаимно-обратные
функции
непрерывны, так как они строго монотонны
и не пропускают промежуточных значений.
Непрерывность функции
на всей вещественной оси мы уже проверяли
непосредственно. Если ограничиться
отрезком
,
то здесь эта функция строго монотонна,
и, следовательно, у нее есть обратная
функция
,
определенная на отрезке
,
которая также непрерывна и строго
монотонна. Доказательство завершено.