§6. Сравнение б.М. (б.Б.) функций. Эквивалентные функции.

Определение. Функции и называются эквивалентными , если .

Определение. Мы будем писать , если . Если при этом − б.м. функции, то говорят, что − б.м. более высокого порядка; если же обе эти функции б.б., то говорят, что − б.б. более высокого порядка .

Теорема 1. Функции и эквивалентны тогда и только тогда, когда , или, что то же, , .

Доказательство. Достаточно заметить, что .

Теорема 2. Если при вычислении предела дроби заменить любой сомножитель (в числителе или в знаменателе) на эквивалентную функцию, то это не повлияет ни на существование, ни на величину предела.

Доказательство. Пусть и . В таком случае будет

= .

Таблица основных эквивалентностей

(вывод будет дан на одной из ближайших лекций).

При выполнении условия имеют место следующие эквивалентности: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 6. ; 7. ; ; ; 8. .

§7. Теоремы существования в теории пределов последовательностей.

Теорема 1. (Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности). В пространстве всякая возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел . При этом . (Убывающая ограниченная снизу последовательность имеет предел, который не превосходит всех членов последовательности.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай возрастающей последовательности . Согласно принципу ТВГ существует . Обозначим и докажем, что и есть предел рассматриваемой последовательности. Если − произвольное положительное число, то уже не является ТВГ. Поэтому найдётся номер , для которого . В таком случае . Это значит . С другой стороны, при всех , т.к. А − ТВГ данной последовательности.

Теорема 2. (Принцип вложенных отрезков.) В пространстве у последовательности вложенных стягивающихся отрезков имеется единственная общая точка. Более подробно. Пусть и пусть . В таком случае пересечение всех данных отрезков состоит из единственной точки .

Доказательство. По условию . Отсюда следует, что последовательность возрастает и ограничена сверху числом , а последовательность убывает и ограничена снизу числом . По теореме Вейерштрасса существуют пределы и , кроме того, при всех . Пересечение всех отрезков содержит отрезок и, следовательно, непусто. Осталось доказать, что это пересечение состоит из единственной точки. Предположим, что и принадлежат рассматриваемому пересечению и . Тогда будет , следовательно, . И мы приходим к противоречию.

Теорема 3. (Теорема Больцано-Вейерштрасса). В пространстве из всякого бесконечного ограниченного множества можно выделить сходящуюся последовательность.

Доказательство. Пусть − указанное множество. Так как − ограниченное множество, то оно размещается на некотором отрезе . Выберем произвольным образом . Ясно, что . Обозначим . Хотя бы одна из двух половинок отрезка или содержит бесконечное подмножество множества . Обозначим такую половинку . Так как − бесконечное множество, то можно выбрать , .

Продолжая это построение далее, получим с помощью ММИ последовательность вложенных отрезков , последовательность бесконечных подмножеств и последовательность попарно различных точек таких, что и , когда . По теореме 2 существует . Так как , то по теореме о двусторонней оценке .

Определение. Последовательность называется фундаментальной, если выполнено условие Коши: , когда и , а это значит, что : .

Легко видеть, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Действительно, если , когда , то , при условии, что . (Заметим, что на множестве обратное утверждение не верно. Так, например, последовательность рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу, фундаментальна, но у неё нет предела.)

Теорема 4. (Критерий Коши сходимости последовательностей). В последовательность является сходящейся, тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна.

Необходимость условия Коши уже доказана. Для доказательства достаточности понадобятся 2 леммы.

Лемма 1. Фундаментальная последовательность ограниченна.

Доказательство. Пусть . Тогда . Если , то при всех .

Лемма 2. Если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, то вся последовательность тоже является сходящейся.

Доказательство. Пусть − фундаментальная последовательность и . Для любого положительного числа можно указать такой номер , после которого будут выполнены оба следующих условия . В таком случае, при всех будем иметь . Это и означает, что последовательность сходится и её предел равен .

Доказательство достаточности условия Коши. Пусть − фундаментальная последовательность. По лемме 1 эта последовательность ограничена. Теорема Больцано-Вейерштрасса показывает, что из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Но тогда из леммы 2 следует, что последовательность является сходящейся.