Литература

1. Бугров, Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление, ч.1.

2. Кудрявцев, Курс математического анализа, ч.1.

3. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ под ред. Ефимова и Поспелова, ч.2.

Глава 1. Теория пределов §1. Принцип твг.

В школьном курсе математики вы встречались с числовыми системами: . Вам известны свойства арифметических операций и свойства неравенств. Для дальнейшего нам понадобится одно дополнительное свойство множества действительных чисел. .

Если любое число из множества не превосходит числа , (в сокращенной записи ), то называется верхней гранью множества , а само множество называется ограниченным сверху (числом ). Множество называется ограниченным снизу числом , если . Число в этом случае называется нижней гранью множества . Мы будем называть множество ограниченным, если ограниченно и сверху и снизу. Введем еще одно определение. Мы скажем, что множество отделено от нуля, если существует такое положительное число , что для всех выполнено неравенство .

Упражнение. Множество ограниченно тогда и только тогда, когда такое, что .

Если множество ограничено сверху числом , то у него есть и другие верхние грани, например . Но находить верхнюю грань “с запасом” не интересно. Интереснее находить наименьшую верхнюю грань.

Определение. Точной верхней гранью (ТВГ) множества называется наименьшая из всех верхних граней этого множества. Она обозначается .

В ограниченное множество может не иметь ТВГ. Пусть множество состоит из десятичных приближений по недостатку для иррационального числа . Множество ограниченно, но точной верхней грани в числовой системе у него нет (так как ). В у него есть ТВГ; .

Принцип ТВГ. В всякое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань. (Точно так же всякое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю грань.)

Это свойства множества можно считать аксиомой. Принципом ТВГ мы часто будем пользоваться в дальнейшем.

§2. Предел числовой последовательности.

Определение. Число называется пределом последовательности чисел (в записи или ), если при любом при почти всех выполняется неравенство , т.е. .

Определение. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если .

Определение. Мы будем называть бесконечно большой (б.б.) последовательностью, и писать , если .

Последовательности, имеющие конечный предел, называются сходящимися.

Упражнение 1. Последователь не может иметь более одного предела.

Упражнение 2. Если последовательность имеет предел (конечный или бесконечный), то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.

Упражнение 3. Пусть и пусть . В таком случае ─ бесконечно малая последовательность тогда и только когда, когда последовательность − бесконечно большая. Таким образом, б.м. и б.б. последовательности взаимно обратны по величине.

Лемма 1. тогда и только тогда, когда , где − б.м. последовательность.

Доказательство. , где .

Лемма 2. Всякая сходящаяся последовательность ограниченна.

Доказательство. Пусть и пусть . Т.к. , то , если . Поэтому .