4. Комплексні числа, форми представлення комплексних чисел

Повторимо матеріал з математики, який під час вивчення подальшого матеріалу буде нам потрібний.

У математиці ми вивчали послідовно такі числа:

1. додатні цілі;

2. від’ємні цілі (до них приводить дія віднімання цілих чисел);

3. дробові числа раціональні й ірраціональні (до них приводить дія ділення).

Вказані числа відносяться до дійсних чисел і їх зображують на числовій осі. Згодом виникла потреба ввести додатково уявні й дійсні числа.

4. уявні числа одержують в результаті добування квадратного кореня з від’ємних чисел. Уявне число – це число, рівне кореню квадратному з від’ємного дійсного числа , де а будь-яке дійсне число. Уявною одиницею є число рівне кореню квадратному з мінус одиниці: ;

5. комплексні числа – це числа, які складаються з дійсної і уявної частин: . Тут α та β – дійсні числа. Комплексні числа в шкільному курсі математики ми вивчали під час вивчення квадратних рівнянь Рівняння, в яких дискримінант від’ємний, приводять до комплексних чисел. Комплексні числа утворюють повну множину чисел відносно будь-якої математичної дії, тобто таку множину, що ніякі математичні дії не можуть привести до чисел, які б не входили у цю множину.

Комплексні числа прийнято зображувати на комплексній площині. Комплексну площину утворюють дійсна та уявна осі. Дійсну частину комплексного числа зображують за горизонтальною числовою віссю, а уявну за вертикальною віссю. Приклад зображення комплексного числа на комплексній площину показано на рис. 4.8.

Рис. 4.8 – Комплексна площина

Комплексні числа виникають під час спроби розв’язати квадратне рівняння. Візьмемо для прикладу рівняння

х²+4х+8 =0.

Для знаходження його розв’язку визначимо дискримінант рівняння

.

Дискримінант рівняння від’ємний, отже потрібно ввести уявне число для його запису.

Рішення рівняння матиме вигляд

Тобто дане квадратне рівняння має два розв’язки. Ці розв’язки є комплексними числами і відрізняються знаком перед уявною частиною. Вони показані на рис.4.8. Такі два розв’язки називають комплексно спряженими. Будь-яке алгебраїчне рівняння, коефіцієнти якого є дійсними числами, якщо має комплексні корені, то вони обов’язково комплексно спряжені

Комплексне число може бути записане в алгебраїчній, тригонометричній та степеневій формі.

Алгебраїчна форма комплексного числа – це значення дійсної і уявної частин:

(4.17)

На рис. 4.8 показано ряд чисел в алгебраїчній формі.

Тригонометрична форма комплексного числа передбачає подання довжини радіуса вектора r і кута, утвореного радіус-вектором з дійсною віссю :

. (4.18)

Між цими формами існує співвідношення

(4.19)

Та зворотне співвідношення

(4.20)

Степенева форма комплексного числа - це запис комплексного у вигляді

. (4.21)

З урахуванням формул Ейлера

, (4.22)

, . (4.23)

тригонометрична форма (4.18) відповідає степеневій (4.21)

Тут ми розглянули надзвичайно важливе в ТАК питання, а саме: умова стійкості САК, і разом з тим приведено матеріал математики, який потрібен для подальшого вивчення і розуміння предмету ТАК.