Вариант № 8

1. Из пакета, в котором 6 пряников с начинкой и 3 — без начинки, на­удачу достают один пряник. Найдите вероятность того, что этот пряник без начинки.

1. В связке 5 ключей, 1 из них подходит к двери. Выбираем ключ наугад и делаем попытку открыть дверь. Найдите вероятность того, что дверь будет открыта.

2. В кошельке находится пять монет достоинством 1 рубль, три монеты достоинством 2 рубля и семь монет достоинством 5 рублей. Случайным образом из кошелька вытаскивают одну монету, а затем подбрасывают. Какова вероятность того, что выпадет решка двухрублёвой монеты?

3. Три студента сдают зачёт. Вероятность того, что первый студент сдаст зачёт, равна 0,8, второй — 0,9, третий — 0,7. Найдите вероятность того, что зачёт сдадут только 1-й и 2-й студенты.

4. Автомобильные номера состоят из трёх цифр. Найдите количество ав­томобильных номеров данной серии (буквы), все цифры в которых чёт­ные. (При решении учесть, что номера «ООО» не существует.)

5. На кодовом замке 10 кнопок с цифрами от 0 до 9. Сколькими спосо­бами можно составить ключевой шифр из трёх цифр, если все они раз­личны?

6. Учительница попросила пятерых опоздавших учеников выписать на доске время в минутах, которое они в среднем тратят на дорогу из дома до школы. Получились следующие данные: 20, 25, 35, 30, 40. Насколько среднее значение этого ряда превосходит его размах?

§ 2. Сборник задач Задачи по теории вероятностей

1. Бросают три монеты. Найдите вероятность того, что выпадет ровно одна решка.

2. Бросаются два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

1. Бросается игральный кубик. Найдите вероятность того, что появив­шееся число очков кратно 3.

2. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 4.

3. Бросают три монеты. Найдите вероятность того, что выпадут ровно два герба.

4. В партии из 5 деталей находится 2 бракованных. Из партии наугад выбирают 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?

5. Из колоды из 36 карт вытаскивают две карты. Какова вероятность того, что среди них хотя бы один туз?

6. Из ста карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100, вытаскивают одну, затем ещё одну. Какова вероятность того, что число, написанное на второй карточке, на 2 больше числа, написанного на пер­вой?

7. Найдите вероятность того, что в написании наудачу взятого двузнач­ного числа встречается цифра 5.

10. Одновременно бросили две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков не будет превышать трёх?

11. В мешке находится 3 чёрных кубика и 5 белых. Случайным образом из мешка достают два кубика. Какова вероятность того, что оба кубика белые?

12. В корзине лежат 3 красных, 4 зелёных и 5 синих шаров. Найдите ве­роятность того, что наугад извлечённый шар окажется зелёным или си­ним.

13. В пенале лежат 10 простых карандашей, из них 8 мягких и 2 твёрдых. Из пенала последовательно достают карандаши по одному. Чему равна вероятность того, что первый вынутый наудачу карандаш будет твёрдым?

14. На случайным образом выбранное поле шахматной доски 8x8 по­ставили короля. Найдите вероятность того, что король оказался в угло­вой клетке.

15. Вася бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что выпа­дет чётное число очков, большее 3-х?

16. Одновременно бросили два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших чисел равна 4.

17. Вероника загадала число от 1 до 5. Рита и Таня пытаются угадать его, записывая каждая свой вариант на отдельном листе бумаги, и не знают о числах друг друга до того, как отдадут их загадавшей. Какова вероят­ность того, что обе девочки угадают число с первой попытки?

18. К человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (К > 2). Найдите вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

19. Определите вероятность того, что серия наудачу выбранной облига­ции не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

20. На десяти карточках написаны буквы Т, М, М, А, А, А, К, И, Е, Т. После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и рас­кладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найдите вероят­ность того, что на карточках будет написано слово "МАТЕМАТИКА".

21. В лифт двенадцатиэтажного дома на первом этаже вошли пять чело­век. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом эта­же, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на одном и том же этаже; б) на восьмом этаже.

22. На полке в случайном порядке расставлено 20 книг, среди которых находится трёхтомник Я. Купалы. Найдите вероятность того, что эти то­ма стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно ря­дом).

23. Студент пришёл на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов програм­мы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает все эти вопросы.

24. Вероятность попадания в первую мишень для стрелка равна . Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получа­ет право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определите вероятность поражения второй мишени.

25. Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле равно 25. Найдите вероятность того, что первые два дня в июле будут ясными.

26. В обществе из 2п человек одинаковое число мужчин и женщин. Ме­ста за круглым столом занимают наудачу. Определите вероятность того, что два лица одного пола не займут места рядом.

27. Имеется группа из k космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с ве­роятностью р. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга т радиолокационных станций. Найдите вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.

28. Определите вероятность того, что выбранное наудачу изделие явля­ется первосортным, если известно, что 5% всей продукции является бра­ком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

29. Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Усло­вием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной брако­ванной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5% неисправных деталей?

30. Производится испытание прибора. При каждом испытании прибор выходит из строя с вероятностью р. После первого выхода из строя при­бор ремонтируется; после второго — признаётся негодным. Найдите ве­роятность того, что прибор окончательно выйдет из строя в точности при k-м испытании.

31. Вероятность того, что некоторое устройство космического корабля испортится, равна р. Сколько запасных устройств нужно иметь на ко­рабле, чтобы обеспечить вероятность правильной работы не меньше р?

32. По мосту производится бомбометание двух самолётов. Вероятность попадания первого самолёта 0,8, второго — 0,6. Мост будет разрушен, если в него попадёт хотя бы одна бомба. Какова вероятность того, что в результате одного бомбометания двух самолётов мост будет разрушен?

33. В коробке лежат 5 красных, 7 зелёных и 3 синих игральных кубика. Случайным образом из коробки берут кубик, а затем бросают. Какова вероятность того, что выпадет 5 очков на зелёном кубике?

34. В бассейне 10 дорожек. Сколько существует способов размещения четырёх пловцов на разных дорожках?

35. В кошельке находятся 4 монеты достоинством 2 рубля, 8 монет до­стоинством 5 рублей и 8 монет достоинством 1 рубль. Случайным обра­зом из кошелька вытаскивают одну монету, а затем подбрасывают. Ка­кова вероятность того, что выпадет решка пятирублёвой монеты?

36. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколько существует способов разместить их на разных беговых дорожках, если на стадионе всего 8 до­рожек?

37. В кармане у Серёжи находятся 7 монет достоинством 5 рублей, 10 монет достоинством 1 рубль и 8 монет достоинством 2 рубля. Мальчик случайным образом вытаскивает одну монету из кармана, а затем под­брасывает. Какова вероятность того, что выпадет орёл монеты достоин­ством один рубль?

38. Лена засушила для гербария 6 ромашек, 10 маргариток и 4 астры, причём среди цветов каждого вида было поровну экземпляров с чёт­ным и нечётным количеством лепестков. Случайным образом из герба­рия взяли один цветок. Какова вероятность того, что вытащили ромашку с нечётным количеством лепестков?

39. Из пакета, в котором 6 пряников с начинкой и 3 — без начинки, на­удачу последовательно по одному достают пряники до первого появления пряника без начинки. Найдите вероятность того, что пряник без начинки извлекут четвёртым.

40. Из пакета, в котором 3 синих, 4 зелёных и 5 красных карандашей, на­удачу последовательно по одному достают карандаши до первого появ­ления зелёного карандаша. Найдите вероятность того, что придётся про­изводить четвёртое извлечение.

41. Десять рукописей разложены по 30 папкам (на одну рукопись прихо­дится три папки). Найдите вероятность того, что в случайно отобранных 6 папках не содержится целиком ни одна рукопись.

42. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятность того, что две наудачу вынутые пуговицы будут одноцветными?

43. В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Извест­но, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пятеро выйдут на шестом этаже.

44. Какова вероятность того, что из шести отмеченных в карточке «Спорт­лото» чисел (игра 6 из 36) k чисел будут выигрышными. Ответ указать для k — 6.

45. В папке «Мои документы» лежат 6 файлов, 2 из которых являют­ся файлами вируса. Пользователь наугад удалил 4 файла из этой папки. Какова вероятность того, что оба файла вируса были удалены?

46. Из колоды карт (36 карт, 4 масти) наугад вынимают карту, затем кладут её обратно, перемешивают колоду и снова наугад вынимают кар­ту. Какова вероятность того, что оба раза выпадала не карта червонной масти?

47. В коробке лежат 5 красных, 4 зелёных, 2 жёлтых и 9 белых шаров. Школьник берёт шар наудачу и кладёт его обратно. Данную процедуру он проделывает 2 раза. Какова вероятность того, что он достанет один красный и один зелёный шар?

48. Николай бросает монетку три раза. Какова вероятность того, что решка выпадет не меньше 2-х раз?

49. Какое минимальное число раз надо бросить монету наудачу, чтобы решка выпала хотя бы 1 раз с вероятностью, не меньшей 99%?

50. В кармане лежат 6 игральных кубиков белого цвета и 9 — чёрного. Наудачу достаётся кубик и подкидывается. Какова вероятность того, что выпадет чётное число очков на белом кубике?

51. Андрей наугад называет натуральное число, не превышающее 200. Какова вероятность того, что оно делится на 3, но не делится на 2?

52. У двух школьников по четыре шариковых ручки (красная, зелёная, синяя и чёрная). Они наугад обменялись одной ручкой. Какова вероят­ность того, что у одного из них окажется две ручки чёрного цвета?

53. Из колоды (36 карт, 4 масти) наугад вынимают карту, затем кладут её обратно и снова наугад вынимают карту. Какова вероятность того, что карта червонной масти выпадет хотя бы один раз?