Тема 3.2. Элементы математической статистики.

№ 25. Основные задачи и понятия. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Выборка с возвращением и без возвращения. Способы отбора.

Изучение нового материала:

Элементы статистики.

Математическая статистика — дисциплина, разрабатывающая ма­тематические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Мода — значение признака, имеющее наибольшую частоту в стати­стическом ряду распределения.

Среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел — это сумма всех чисел в этом наборе, делённая на их количество.

Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжи­рованный (упорядоченный) ряд распределения на две равные части. Для нахождения медианы нужно отыскать значение признака, которое нахо­дится на середине упорядоченного ряда. Если упорядоченный ряд состо­ит из чётного количества чисел, то нужно взять среднее арифметическое тех двух чисел, которые наиболее близки к середине.

Элементы комбинаторики

Множество (совокупность элементов) называется занумерованным, если каждому элементу этого множества сопоставлено своё натураль­ное число (номер) от 1 до п. Для краткости занумерованные множества также будут называться далее наборами.

Число перестановок. Отличающиеся друг от друга порядком набо­ры, составленные из всех элементов данного конечного множества, на­зываются перестановками этого множества.

Число всех перестановок множества из п элементов обозначается Р_п и определяется по формуле Р_п = п!, где п! = 1 •2 • 3 •... • п.

Число размещений. Упорядоченные наборы, состоящие из k раз­личных элементов, выбранных из данных п элементов, называются раз­мещениями из п элементов по k. Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и порядком.

Число всех размещений из п элементов по к обозначается и определяется по формуле

=

Число сочетаний. Неупорядоченные наборы (подмножества), со­стоящие из k элементов, взятых из данных п элементов, называются сочетаниями из п элементов по k. Сочетания отличаются друг от друга только элементами.

Число сочетаний из п элементов по k обозначается и определя­ется по формуле:

=

Демонстрационный вариант

1. Для проведения лотереи отпечатали 2000 билетов, из которых 100 вы­игрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется вы­игрышным?

Решение. Общее число исходов равно количеству лотерейных би­летов, то есть 2000. Благоприятных исходов — купить выигрышный би­лет — 100. Так как все исходы равновозможны, то искомая вероятность равна

= = 0,05

Ответ: 0,05.

2. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сум­ме выпадет чётное число очков, не превосходящее шести.

Решение. Все равновозможные исходы при бросании двух кубиков образуют множество пар, в которых первая цифра — количество очков, выпавших на первом кубике, вторая — на втором. Количество всевоз­можных пар равно 6 • 6 = 36.

Событию выпадения на двух кубиках в сумме чётного числа очков, не превосходящего шести, соответствуют девять пар (1; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 1), (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1). Следовательно, вероятность того, что на двух игральных кубиках в сумме выпадет чётное число очков, не превосходящее шести, равна

= 0,25.

Ответ: 0,25.

3. В контрольной по математике 5 задач с выбором ответа. К каждой задаче предлагается четыре ответа, один из которых верный. За четыре верно решённые задачи ученик получает оценку. 4. Какова вероятность получить 4, если случайным образом отметить верные ответы?

Решение. Так как к каждой задаче предлагается четыре вариантов ответов, то общее число возможных комбинаций ответов равно 4⁵ = 1024. Благоприятными исходами являются 4 верно проставленных ответа. Та­ких исходов 5: четыре из пяти задач решены верно. Так как все исходы равновозможны, то искомая вероятность равна

Ответ:

4. В мешочке лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами К, О, С, М, О, С. Какова вероятность того, что, наудачу извлекая карточки и выкладывая их на столе, получится слово КОСМОС?

Решение. Занумеруем карточки числами от 1 до 6: К₁О₂С₃М₄О₅С₆. Общее число исходов равно количеству перестановок шести карточек, то есть 6!. Благоприятными исходами будут следующие: К₁О₂С₃М₄О₅С₆

К₁О₂С₆М₄О₅С₃, К₁О₅С₃М₄О₂С₆, К₁О₅С₆М₄О₂С₃.

Так как все исходы равновозможны, то искомая вероятность равна = =

Ответ: .

5. Измеряя рост семи пришедших на урок учеников, учитель физкульту­ры получил ряд чисел: 152,148,152,154,158,148,152. Найдите разность между модой и медианой этого ряда.

1) 1 2) -1 3) -2 4) 0

Решение. Модой ряда является число, наиболее часто в нём встре­чающееся. Мода данного ряда равна 152.

Для того чтобы найти медиану, упорядочим заданный ряд по возрас­танию: 148,148,152,152,152,154,158. Поскольку в этой последователь­ности нечётное число элементов, то медианой ряда будет число, стоящее посередине, то есть 152. Следовательно, разность между модой и медиа­ной равна 152 - 152 = 0.

Ответ: 0.

6. У одного мальчика 6 значков, а у другого — 5. Сколькими способами они могут обменять 2 значка одного на 2 значка другого?

Решение. Чтобы мальчики смогли обменять два значка од­ного на два значка другого, каждому из них нужно выбрать из своих значков по два для обмена. Определим, сколькими спосо­бами это может сделать каждый из них. Для этого воспользуем­ся формулой определения числа сочетаний из п элементов по k

=

Количество выборок из шести значков по два равно

= = = 15

Количество выборок из пяти значков по два равно

= = = 10

Теперь нужно определить, сколько пар можно составить из множества, состоящего из 15 элементов, с множеством из 10 элементов. Число таких пар равно 10 • 15 = 150.

Следовательно, мальчики могут обменяться 150 способами.

Ответ: 150.

7. Дима в четверти получил по 10 предметам среднюю оценку 4,2. По ка­кому количеству предметов он должен улучшить оценку на 1 балл, чтобы его средняя оценка стала 5?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 8

Решение. Согласно условию задачи, мы имеем ряд чисел х₁, ₂,… х_п (оценки по каждому из предметов).

Следовательно, сумма набранных баллов по всем предметам S = x₁+ х₂ +… + х₁₁ + х₁₂= х• п = 4,2 • 10 = 42.

Пусть y_1, y₂,…. y_n — ряд чисел, соответствующий оценкам Димы после их исправления. Количество элементов этого ряда осталось преж­ним, п = 10 (количество предметов), и, согласно условию, среднее ариф­метическое нового ряда у = 5 (средний балл, который Дима желает по­лучить).

Тогда сумма баллов после исправления S₁ y₁+_, y₂+…+ y₁₁+ y₁₂= y• n = 5 • 10 = 50.

Следовательно, Дима должен улучшить свой результат на S₁ - S = 50 - 42 = 8 баллов.

Значит, он должен улучшить на 1 балл оценки по 8 предметам.

Ответ: 4.