6. Перечень экзаменационных вопросов, выносимых на устный экзамен

6.1. Перечень билетов с вопросами, выносимых на экзамен

1. Методы моделирования с использованием рациональной передаточной функции. Подходы к моделированию и идентификации параметров. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов. Соотношения между параметрами АР-, СС- и АРСС-моделей.

2. Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной последовательностью. Уравнения Юла-Уокера.

3. Спектральная факторизация. Связь параметров АР-модели с фильтрами линейного предсказания. Алгоритм Левинсона. Коэффициенты отражения.

4. Свойства спектральной плотности мощности авторегрессионного процесса. Спектральное оценивание на основе метода максимальной энтропии. Автокорреляционное обобщение АР-оценки.

5. АР-оценивание параметров. Групповая оценка АР-параметров. Геометрический алгоритм. Гармонический алгоритм (Берга).

6. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. Характеристики оценок. Выбор порядка АР-модели.

7. Метод Прони. Исходный подход Прони. Метод наименьших квадратов Прони. Спектр Прони. Оценивание спектральных линий по методу Прони.

8. Спектральное оценивание с помощью метода максимального правдоподобия Кейпона ( по методу минимума дисперсии ).

9. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений. Метод MUSIC.

10. Метод гармонического разложения Писаренко.

11. Оценивание частот суммы нескольких синусоид: Модификация метода линейного предсказания (Тафтас).

12. Корректный подход к непараметрическому оцениванию СПМ. (Д.Дж.Томсон). МТМ-метод.

13. Биспектральное оценивание. Свойства биспектра. Обычные методы биспектрального оценивания. Применение биспектра.

14. Кепстр и его применение при обработке данных. Кепстр мощности. Комплексный кепстр. Фазовый кепстр.

15. Частотно-временные свойства базисных функций. Оконное преобразование Фурье. Принцип неопределенности.

16. Базисные функции частотно-временного анализа. Непрерывное вейвлет-преобразование.

17. Свойства непрерывного вейвлет-преобразования.

18. Дискретное вейвлет-преобразование. Дискретизация масштаба. Дискретизация масштаба и сдвига.

6.2. Темы рефератов по модулю «Применение методов Вейвлет анализа»

1. Ортогональные вейвлеты и многомасштабный анализ.

2. Биортогональные вейвлеты и сжатие изображений.

3. Вейвлет анализ в компьютерной графике.

4. Мультивейвлеты.

7. Типовые задачи для практических занятий

1. Обосновать вид преобразований Фурье для сдвига, масштабирования и производной по времени.

2. Показать, что преобразование Фурье функции есть

.

3. Пусть при . а) Показать, что . б) Определить достаточное условие на для восстановления по . Описать интерполяционный алгоритм.

4. Пусть – обратная функция к , определенная как . а) Доказать, что если имеет конечный носитель, то имеет конечный носитель только в том случае, если при некотором . б) Найти достаточное условие для , чтобы было устойчивым фильтром.

5. Пусть , – оконное преобразование Фурье. Доказать, что .

6 Для вычислить функцию неопределенности .

7. Пусть – четный вещественный вейвлет, такой что . Доказать, что , .

8. Сделать программу, которая синтезирует звук в соответствии с моделью . где амплитуда и фаза вычисляются по хребтам преобразования Фурье с окном или вейвлет-преобразования. Проверьте ваши результаты на стандартных сигналах Tweet (чириканье) и Greasy (вкрадчивый) в WaveLab.

9. Сделать программу, которая изменяет длительность звука по формуле или перестраивает частоту по формуле .

10. Пусть и – вейвлет, симметричный относительно 0. а) Показать, что . б) Найти уравнения кривых максимумов модуля в частотно-временной плоскости . Связать убывание вдоль этих кривых с числом нулевых моментов .

11. Доказать, что если , то число максимумов модуля при каждом масштабе больше или равно числу нулевых моментов .

12. Пусть – вейвлет с комплексным носителем, вычисленный с помощью сопряженных зеркальных фильтров Добеши . Пусть – производный вейвлеты. а) Покажите, что и , определенные формулами , – конечные фильтры импульсного отклика для этих вейвлетов. б)Показать, что Фурье преобразование имеет вид .

13. Для интерполяционного вейвлета Делорье-Дюбюка степени 3 вычислить двойственный вейвлет , который является суммой функций Дирака. Убедитесь, что он имеет 4 нулевых момента.

14. Доказать, что интерполяционная функция Делорье-Дюбюка степени сходится к -функции при стремящемся к .

15. Определим . Доказать, что , если .

16. Цветной пиксель представляется красной, зеленой и голубой компонентами (r,g,b), которые рассматриваются как ортогональные координаты в трехмерном цветовом пространстве. Красные , зеленые и голубые пиксели изображения моделируются как значения трех случайных переменных соответственно R, G, B, которые являются тремя координатами цветного вектора. Численно оценить 3х3 матрицу ковариации этого случайного цветного вектора от нескольких изображений и вычислить базис Кархунена-Лоэва, который ее диагонализирует. Сравнить цветные изображения, восстановленные по двум цветовым каналам Кархунена-Лоэва с наибольшей дисперсией с восстановлением по красному и зеленому каналам.