1.Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение – четырем.

 

Каждый кубик при бросании дает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как оба кубика бросаются независимо, то по теореме умножения общее число исходов: 6 · 6 = 36.

 

Ясно, что удовлетворить условию задачи возможно только двумя сочетаниями очков: 1, 4 или 4, 1. То есть только два исхода благоприятствуют условию задачи. Следовательно, по определению вероятности:

 

2. В коробке имеется 15 шаров, из которых 10 – окрашены, а 5 – прозрачные. Извлекаем, не глядя, три шара. Какова вероятность того, что все они будут окрашены?

 

Общее число исходов при извлечении шаров:

.

Благоприятных исходов того, что все шары окрашены:

.

Следовательно, .

 

3. В библиотеке на стеллаже расставлено 15 учебников по математике, причем только 5 из них пригодны для студентов экономического факультета. Студент наудачу выбирает 3 учебника. Какова вероятность того, что хотя бы один из учебников – тот, что нужен?

Всего три учебника из 15 можно выбрать: способами.

Ненужные учебники (из 10 шт.) могут быть выбраны: способами.

Вероятность того, что все учебники непригодны:

 

Поскольку события А – «хотя бы один учебник пригоден» и – «все три учебника непригодны» противоположны и составляют полную группу, то ,следовательно,

.

 

4. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок.

 

Так как два стрелка стреляют одновременно и независимо друг от друга, то, используя противоположные события «попадание – промах» и правило умножения вероятностей, получим следующие варианты событий:

‑ попадают оба стрелка: ;

‑ попадает первый стрелок и не попадает второй: ;

‑ попадает второй и промах у первого: ;

‑ промах обоих стрелков: .

Эти события образуют полную группу, т. к. .

Решением задачи, по правилу сложения, будет: .

 

5. Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент знает 20. Преподаватель последовательно задает три вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет ответить на все вопросы а, в, с.

Вероятность того, что первый вопрос будет из числа известных студенту, равна .

Таким образом, остается 24 вопроса, 19 – известны. Следовательно, .

Аналогично, вероятность того, что студент ответит и на третий вопрос: .

Итак, вероятность отличной оценки:

.

 

6. В мешок, содержащий два шара неизвестного цвета, опущен белый шар. После встряхивания извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны любые предположения о цвете двух шаров, находившихся в мешке.

 

Пусть А – событие извлечения белого шара. Построим предположения о первоначальном составе шаров:

В_{1 –} белых шаров нет; В_{2 –} один белый шар из двух; В_{3 –} оба шара белые.

Так как гипотезы В₁, В₂ и В₃ по условию равновероятны, то .

А теперь промоделируем извлечение:

‑ если в мешке первоначально не было белых шаров, то , так как только одно событие из трех благоприятно;

‑ в мешке уже был один белый шар, следовательно , так как уже два события из трех благоприятны;

‑ в мешке оба шара были белые: .

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, найдем по формуле полной вероятности:

.

7.Два автомата производят одинаковые детали. Производительность первого автомата в два раза больше производительности второго. Вероятность производства отличной детали у первого автомата равна 0,60; у второго 0,84. Наудачу взятая для проверки деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

 

Пусть А – событие: деталь отличного качества. Можно сделать две гипотезы:

В₁ – деталь произведена первым автоматом. Тогда , так как этот автомат производит, по условию, деталей в два раза больше второго;

В₂ – деталь изготовлена вторым автоматом, причем .

Условные вероятности того, что деталь произведена первым автоматом, по условию: , а вторым – .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности:

.

Искомая вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым автоматом, по формуле Байеса:

.