5. Случайные величины
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать различные заранее не известные значения.
Случайные величины можно разделить на два основных вида – дискретные и непрерывные.
Дискретной
случайной величиной
называется
такая величина, которая может принимать
любое значение из конечного или
бесконечного счетного множества
значений, т.е. такого множества, элементы
которого могут быть занумерованы в
каком-нибудь порядке и выписаны в
последовательности
,
,
…,
,
…
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые неизвестные заранее значения из рассматриваемого участка или интервала.
Так число будущих министров среди ста выпускников института – дискретная случайная величина с возможными значениями 0, 1, 2, …, 100, а дальность полета пули при выстреле – непрерывная и заранее неизвестная величина от 0 до 1 км.
Для задания дискретной случайной величины необходимо перечислить все ее возможные значения и указать вероятности этих значений.
Законом распределения (или рядом распределения) дискретной случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения может задаваться таблицей, формулой или графиком. При табличном задании первая строка таблицы содержит возможные значения, вторая – вероятности этих значений.
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
В любом законе распределения необходимо перечислять все возможные значения случайной величины, следовательно, события x1, x2, …, xn образуют полную группу и
.
Пример. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 1 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.
Возможные значения величины X: x1 = 0; x2 = 10 и x3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p1 = 0,89, вероятность выигрыша 1 у.е. (10 билетов) – p2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p3 = 0,01. Таким образом:
X |
0 |
10 |
50 |
P |
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Легко
проконтролировать:
.
Ряд распределения можно задать графически, если по оси x откладывать значения X, а по оси y – значения P и соединять отрезками полученные точки.
Для целого ряда процессов получены аналитические формулы законов распределения. Приведем обзор наиболее распространенных.
Распределение Бернулли (или биномиальное)
Пусть в серии n независимых испытаний событие A может появиться или не появиться в каждом испытании. Вероятность появления A равна p, непоявления q = 1– p. Случайной величиной X объявим число появлений события A в этих n испытаниях. Значения величины X: 0, 1, 2, …, n; k – номер испытания: 0, 1, 2, …, n. Тогда закон Бернулли имеет вид:
.
6. Распределение Пуассона
Это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала (p событие A наступит ровно k раз. Закон Бернулли здесь неудобен, используется формула:
,
где
.
Пример.
Произведено 5000 патронов. Вероятность
того, что какой-то патрон – бракованный
.
Какова вероятность того, что во всей
партии будет ровно 3 негодных патрона?
Здесь
n = 5000,
p = 0,0002,
k = 3.
Находим
,
тогда искомая вероятность:
.
Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.
При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле:
.
Пример. При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Здесь
p = 0,6;
q = 1 –
0,6 = 0,4; k = 3.
Следовательно,
