3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

 В задачах, использующих вероятностные количественные характеристики, приходится по вероятностям одних событий оценивать вероятности других событий. Для этого используют различные соотношения, в основе которых лежат теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Если в единичном опыте обязательно должно произойти одно из событий , то такая группа событий называется полной группой событий. Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице: .

Например, при бросании игральной кости, возможно появление одного из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого появления при единичном бросании . Следовательно,

.

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло ли другое событие или нет. Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается P(A/B) или .

Например, при бросании игральной кости может наступить событие B: «четное число очков» и событие A: «число очков меньше 6». Эти события могут произойти одновременно, т.е. совместны, поэтому можно поставить вопрос о вероятности P(AB) их совместного появления. Эту задачу решает следующая теорема.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

.

Если же появление одного из событий не меняет вероятности появления другого, то события называются независимыми. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого события:

.

Для нашего примера можно определить: , т.к. четных очков – три (2, 4, 6) из шести возможных; , т.к. событию A отвечает только два варианта (2 и 4). Тогда условная вероятность наступления события A при появлении события B:

.

Другой пример. Бросается два кубика отдельно друг от друга. Какова вероятность того, что на первом выпадет четное количество очков (событие A), а на втором число очков будет меньше пяти (событие B)?

В данном случае ясно, что повлиять друг на друга эти события не могут – они независимы. Вероятности: ; , следовательно, вероятность совместного появления обоих событий:

.

 

4. Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть имеется полная группа несовместных событий , , …, с известными вероятностями , , …, . Событие A может наступить только при появлении одного из событий , причем известны условные вероятности , , …, . Найти вероятность события A по этим данным позволяет формула полной вероятности:

.

 

Пример. Предполагается произвести два выстрела в цель из орудия. Необходимо оценить вероятность события A: «разрушение цели», если вероятности попадания снаряда в цель:

- 0 снарядов ; - 1 снаряда ; - 2 снарядов ,

и вероятности разрушения цели при попадании в нее

- 0 снарядов ; - 1 снаряда ; - 2 снарядов .

Так как события составляют полную группу, то вероятность разрушения цели:

 

Пусть теперь событие A может, по-прежнему, наступить с одним из несовместных событий , , …, , образующих полную группу. Пусть в результате какого-то из испытаний событие A произошло. Возникает вопрос, как изменятся условные вероятности событий , , …, , т.е. в результате наступления события A?

 

Ответ на этот вопрос дает формула Байеса

,

где – полная вероятность события A.

 

Пример. По цели было произведено два выстрела, и цель была поражена. Используя данные предыдущего примера, требуется найти вероятности , , получения ровно 0, 1 и 2 попаданий.

Вероятность полного отсутствия попаданий:

.

Вероятности одного или двух попаданий:

; .

 

Видно, что вероятности событий после разрушения цели изменились, точнее, изменились их условные вероятности, хотя события по-прежнему составляют полную группу.

 

Формула Байеса широко применяется при решении проблем с недостаточной информацией: пусть имеется несколько несовместных предположений (гипотез), которые надо проверить с помощью опыта. Перед началом опыта далеко не всегда можно определить вероятности этих гипотез, которые называют доопытными или априорными вероятностями. Этими вероятностями приходится задаваться, исходя из какого-то опыта или просто по интуиции. Как только опыт проведен, появляется информация, с помощью которой можно произвести коррекцию априорных вероятностей.

 

Таким образом, основываясь на результатах опыта, заменяют априорные вероятности послеопытными (или апостериорными). Надо учитывать, что вероятности отдельных гипотез после опыта могут сильно измениться и даже уменьшиться настолько, что ими можно пренебречь, т.е. в нашем примере – отбросить гипотезу . После коррекции эксперимент можно продолжать (повторять опыт), продолжая уточнять вероятности гипотез. По мере уточнения производится обоснованное изменение различных решений практических задач, оперативных планов работы и т.п.