§2 Статистические оценки параметров распределения

2.1. Статистические оценки

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим теоретически удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если известно, что исследуемый признак распределен нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, т.к. эти параметры полностью определяют нормальное распределение. Если есть основание считать, что признак имеет распределение Пуассона, то необходимо найти параметр .

Статистической оценкой ^* неизвестного параметра  теоретического распределения называют функцию f(x₁;x₂;…x_n) от наблюдаемых СВ X₁;X₂;…X_n.

Пусть ^* – статистическая оценка неизвестного параметра  теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема n найдена оценка ^*₁. Извлекаем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным находим оценку ^*₂. Получаем числа ^*_1, ^*_2,…, ^*_k, которые различны между собой. Т.о. оценку ^* можно рассматривать как случайную величину, а числа ^*_1, ^*_2,…, ^*_k – ее возможными значениями.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом ^*= f(x₁;x₂;…x_n), где x₁;x₂;…x_n - результаты наблюдений над количественным признаком (выборка).

Несмещенной называют статистическую оценку ^*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру  при любом объеме выборки, т. е. М(^*)=.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую  возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (n велико!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Однако несмещенность не является достаточным условием хорошего приближения к истин-ному значению оцениваемого параметра. Если при этом возможные значения Θ* могут значительно отклоняться от среднего значения, то есть дисперсия Θ* велика, то значение, найденное по данным одной выборки, может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Следовательно, требуется наложить ограничения на дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при п→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка несмещенная, то она будет состоятельной, если при п→∞ ее дисперсия стремится к 0).

2.2.Точечные оценки выборки

1) Генеральная средняя.

Пусть изучается генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения признака различны, то

Если значения признака имеют частоты N₁, N₂, …, N_k,

где N₁ +N₂+…+N_k= N, то

2) Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты n₁, n₂,…,n_k, то

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной  оценкой генеральной средней.

Замечание 1: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за x_i принимают середины частичных интервалов.

Замечание 2. Если первоначальные варианты х_i - большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т. е. перейти к условным вариантам u_i=x_i-C (в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»). Тогда