министерство образования и науки российской федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждаю

Декан (директор)

М.А. Сонькин

« » 2012 г.

В.Н.Дерюшева

Математическое моделирование

Методические указания к выполнению лабораторных работ

по курсу «Математическое моделирование» для студентов II курса, обучающихся по направлению 261400 «Технология художественной обработки материалов», 151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» и IV курса по направлению 150202 «Оборудование и технология сварочного производства», 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы»

Издательство

Томского политехнического университета

2012

УДК 000000

ББК 00000

А00

Дерюшева В.Н.

А00 Математическое моделирование: методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Математическое моделирование» для студентов II курса обучающихся по направлению 261400 «Технология художественной обработки материалов», 151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» и IV курса по направлению 150202 «Оборудование и технология сварочного производства», 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы»/ В.Н.Дерюшева; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012. – 56 с.

УДК 000000

ББК 00000

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры автоматизация и роботизация машиностроения ИК

« 10 » октября 2011 г.

Зав. кафедрой АРМ

кандидат технических наук __________С.Е.Буханченко

Председатель учебно-методической

комиссии __________М.Г.Гуртяков

Рецензент

Профессор, доктор технических наук

П.Я. Крауиньш

© ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2012 ©

Дерюшева В.Н., 2012 © Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2012

Лабораторная работа №1

Основы работы с MathCAD

Цель работы: ознакомится с основами работы в среде MathCAD и принципами ее функционирования. В процессе выполнения работы студенты узнают:

1. Термины: математические выражения, типы данных, операторы, функции, дискретные аргументы, массивы, текстовые фрагменты, графические области;

2. Создание анимационного клипа;

3. Сообщения об ошибках.

Mathcad работает с документами. С точки зрения пользователя, документ - это чистый лист бумаги, на котором можно размещать области трех основных типов: математические выражения, текстовые фрагменты и графические области.

Математические выражения

К основным элементам математических выражений Mathcad относятся типы данных, операторы, функции и управляющие структуры.

Типы данных

К типам данных относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы) и данные файлового типа.

Константами называют поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Идентификаторы в Mathcad представляют собой набор латинских или греческих букв и цифр.

В Mathcad содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными, имеющими предопределенные системой начальные значения.

Обычные переменные отличаются от системных тем, что они должны быть предварительно определены пользователем, т. е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной.

Если переменной присваивается начальное значение с помощью оператора :=, такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать. Однако с помощью знака ≡ можно обеспечить глобальное присваивание (см. Пример 1 Рисунка 1). Существует также жирный знак равенства, который используется, например, как оператор приближенного равенства при решении систем уравнений.

Операторы

Операторы - элементы Mathcad, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д. После указания операндов (параметров операторов) операторы становятся исполняемыми по документу блоками, например, 2 + 5 -оператор сложения с двумя операндами. В Приложении 2 данного пособия приведен список наиболее часто используемых операторов.

Выполните следующее:

Откройте MathCad. С помощью знака присвоить (:=) определите переменную а=2 локально, а спомощью знака «≡» переменную b=1 глобально, используя знак равно (=) вычислите выражение a+b и выведите значение встроенной переменной е (см. рис.1).

Рис.1. Определения переменных

Функции

В пакете Mathcad имеется множество встроенных функций, т.е. функций, заблаговременно введенных разработчиками. Главным признаком функции является возврат значения, т.е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение.

Важной особенностью пакета является возможность задания внешних функций, или функций пользователя. Следует особо отметить разницу между аргументами и параметрами функции. Переменные, указанные в скобках после имени функции, являются ее аргументами и заменяются при вычислении функции значениями из скобок. Переменные в правой части определения функции, не указанные скобках в левой части, являются параметрами и должны задаваться до определения функции (см. Рис. 2).

Выполните следующее:

Вычислите значение функции sin(b). Определите функцию pro(x,y)=2∙x∙y∙a и вычислите ее.

Рис. 2. Определение функций

Дискретные аргументы

Дискретные аргументы - особый класс переменных, который в пакете Mathcad зачастую заменяет управляющие структуры, называемые циклами (однако полноценной такая замена не является). Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо в виде чисел с определенным шагом, меняющихся от начального значения до конечного.

Дискретные аргументы значительно расширяют возможности Mathcad, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями, формировать векторы и матрицы (см.рис.3).

Выполните следующее:

Определите переменную z в значениях от 2 до 4 с шагом 0,5 (см.рис.3). Выведите все значения z в виде таблицы. Определите значения i от 0 до 3 и j от 0 до 2 с шагом 1.Вычислите с_i=i² и q_i,j=i+j. Определите переменную s=3,5,7 таблично и выведите значение переменной s₁.

Рис.3. Определение и использование дискретного аргумента.

Массивы

Массив - имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете Mathcad используются массивы двух наиболее распространенных типов: одномерные (векторы) и двумерные (матрицы).

Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Индексы могут иметь только целочисленные значения. Они могут начинаться с нуля или единицы, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN.

Векторы и матрицы можно задавать различными способами:

• с помощью команды Вставка->Матрица,

• с использованием дискретного аргумента (Рис. 3).

Текстовые фрагменты

Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Существуют два вида текстовых фрагментов - текстовая область (region) и текстовый диапазон (band). Текстовые области предназначены для небольших кусков текста - подписей, комментариев и т.п. Текстовые диапазоны применяются в том случае, если необходимо работать с абзацами или страницами.

Выполните следующее:

Наберите выражение виде текста: f(x)=3∙x³

Рис.4. Ввод текста

Графические области

Графические области делятся на три основных типа - двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные графики строятся самим Mathcad на основании обработанных данных.

Выполните следующее:

Определите функции : f(r)=3*r² и f1(t)=100*sin(t).

Для создания декартового графика:

1. Установить визир в пустом месте рабочего документа.

2. Выбрать команду Вставка → График → Х-У график, или нажать комбинацию клавиш Shift + @, или щелкнуть кнопку   панели Графики. Появится шаблон декартового графика.

3. Введите в средней метке под осью Х первую независимую переменную, через запятую - вторую и так можно до 10, например r, t, …

4. Введите в средней метке слева от вертикальной оси Y первую независимую переменную, через запятую - вторую и т. д., например f(r), f1(t), …, или соответствующие выражения.

5. Щелкните за пределами области графика, что бы начать его построение.

Рис.5. Построение двухмерного графика

Трехмерные, или 3D-графики, отображают функции двух переменных вида Z(X, Y). При построении трехмерных графиков в ранних версиях MathCAD поверхность нужно было определить математически (Рис. 6, способ 2). Теперь применяют функцию MathCAD CreateMesh.

Настроить график можно дважды счелкнув на него, выбрать Appearance установить маркер Fill Surface.

Рис.6. Трехмерный график

Выполните следующее:

Постройте трехмерный график двумя способами (рис.2).

Построение пересекающихся фигур

Особый интерес представляет собой возможность построения на одном графике ряда разных фигур или поверхностей с автоматическим учетом их взаимного пересечения. Для этого надо раздельно задать матрицы соответствующих поверхностей и после вывода шаблона 3D-графика перечислить эти матрицы под ним с использованием в качестве разделителя запятой (Рис. 7). Настроить график можно дважды счелкнув на него, выбрать Appearance установить маркер Fill Surface и выбрать подходящий цвет в Solid Color.

Рис.7. Построение пересекающихся фигур

Выполните следующее:

Постройте график пересекающихся фигур.

Создание анимационного клипа

Mathcad имеет встроенную переменную FRAME, чье единственное назначение - управление анимациями:

• Создайте объект, чей вид зависит от FRAME.

• Выберите Tools→Animation→Record (Инструменты → Анимация→Запись) для вызова диалогового окна.

• Заключите в выделяющий пунктирный прямоугольник часть рабочего документа, которую нужно анимировать.

• Установите нижние и верхние границы FRAME.

• В поле At (Темп) введите значение скорости воспроизведения (кадр/сек).

• Выберите Animate (Анимировать). Сейчас анимация только создается.

• Сохраните анимацию как AVI файл (Save as).

• Воспроизведите сохраненную анимацию Tools→Animation→Playback (Инструменты → Анимация→ Воспроизведение).

Рис.8. Анимация

Выполните следующее: Создайте анимацию функции f(x)=x+FRAME.

Сообщения об ошибках

При выполнении вычислений возможны ошибки. Сообщение об ошибке в Mathcad выводится в желтом прямоугольнике, и в выражении выделено красным место ошибки.

Рис.9. Сообщение об ошибке

Варианты

Задание 1. Вычислить :

№	Задание	№	Задание
1	, ,	8	log2(8)=, sin(π/2)=, |-3|=
2	sin(π/4)=, , 4!=	9	, 6!=, tg(р/3)=
3	, , 9	10	lg(1000)=, 7!=, cos(π/2)=
4	sin(π/4)=, , 5!=	11	|tg(-π/4)|=, ln(e3)=,
5	tg(π/4)=, 3!=, ln(e2)=	12	11!=, log3(27)=, cos(π/6)=
6	lg(100)=, , 2!=	13	|lg(0.01)|=, , sin(р)=
7	log5(25)=, cos(π/3)=,|-10|=	14	log5(125)=, 64=, 12!=

Для поиска нужной функции зайдите в меню Вставка → Функция и выберите необходимое.

Задание 2. Определите переменные а, b (локально) и c (глобально) и вычислите выражения.

№	a	b	c	Выражения
1	3.4	6.22	0.149	=,
2	4.5	7.12	0.15	=,
3	6.31	4.2	2.718	=,
4	0.168	2.5	5.4	=,
5	0.198	3.78	6.15	=,
6	0.254	4.65	8.37	=,
7	2.5	5.78	0.24	=,
8	1.45	3.54	0.86	=,
9	4.24	5.67	2.87	=,
10	4.93	1.45	8.26	=,
11	7.02	5.27	3.61	=,
12	5.023	4.65	9.12	=,
13	7.31	5.24	0.89	=,
14	3.94	4.26	4.69	=,

Задание 3. Вывести на экран значение системной константы π и установить максимальный формат ее отображения локально. (Формат → Результат)