Лекция № 8.

Тема: рекуррентные соотношения

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Определение рекуррентного соотношения. Примеры.

2. Общие и частные решения рекуррентных соотношений.

3. Линейные рекуррентные соотношения.

Краткое содержание лекционного материала

1. Определение рекуррентного соотношения. Примеры. Рекуррентным соотношением (или рекуррентной формулой) называется соотношение вида

, (1)

где – функция, с помощью которой можно вычислить все члены последовательности с заданными первыми элементами .

Последовательность , получаемая с помощью соотношения (1), называется рекуррентной (recurrere (лат.) – возвращаться).

Примеры. 1) Соотношение определяет арифметическую прогрессию с разностью и с начальным членом a .

2) Соотношение a_n1a_nq определяет геометрическую прогрессию со знаменателем q0 и с начальным членом a₀.

3) Соотношение a_n2a_na_n1 с начальными элементами a₀a₁1 задает последовательность Фибоначчи.

В 1202 году Леонардо из Пизы, известный как Фибоначчи – сын Боначчи, написал сочинение «Liber abacci», в котором была задача: «Предположим, что через месяц от одной пары кроликов порождает еще одна пара кроликов, а рождают кролики со второго месяца рождения. Имеется одна пара кроликов. Сколько пар кроликов будет через один год?»

Число новорожденных пар равно числу кроликов два месяца назад (a_n). Чтобы получить число кроликов в этом месяце (a_n2), надо к этому числу прибавить число кроликов месяц назад (a_n1). Следовательно, последовательность чисел пар кроликов по месяцам определяется соотношением a_n2a_na_n1 с начальными элементами a₀1 и a₁1.

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число пар кроликов через месяц	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

2. Общие и частные решения рекуррентных соотношений.

Общим решением рекуррентного соотношения (1) называется множество всех последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению.

Частным решением соотношения (1) называется одна из последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению.

Пример 1. Последовательность a_na₀nd является общим решением соотношения a_na_n1d. Это – формула общего члена арифметической прогрессии с разностью d и с начальным членом прогрессии a₀.

Пример 2. Последовательность b_nb₀qⁿ является общим решением соотношения b_nb_n1q. Это – формула общего члена геометрической прогрессии со знаменателем q0 и с начальным членом прогрессии b₀.

Пример 3. Так называемая формула Бине _n является частным решением соотношения _n_n2_n1 при ₀₁1.

3. Линейные рекуррентные соотношения. Соотношение вида

a_nkp₁a_nk1…p_ka_nh(n) (2)

где h(n) – функция от числа , а , называется линейным рекуррентным соотношением.

Линейное рекуррентное соотношение называют однородным, если f(n)0:

a_nkp₁a_nk1…p_ka_n0. (3)

Многочлен x^kp₁x^k1…p_k1xp_k называется характеристическим для соотношения (2).

Корень  многочлена называется простым, если делится на , но не делится на .

Корень  многочлена называется кратным, если делится на , но не делится на , .

При этом число называется кратностью корня .

Основная теорема алгебры: многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексных корней с учетом их кратности.

Теорема 1. Пусть характеристический многочлен однородного линейного рекуррентного соотношения (3) имеет n простых корней ₁, …, _n. Тогда общее решение рекуррентного соотношения (3) имеет следующий вид:

, (4)

где c₁,…,c_kC.

Доказательство. Легко проверить следующие два утверждения.

(a) Последовательность cxⁿ, где cC, является решением рекуррентного соотношения (3).

(b) Если последовательности a_n и b_n являются решениями соотношения (3), то последовательность a_nb_n также является решением соотношения (3).

Из (a) и (b) следует, что любая последовательность вида (4) является решением соотношения (3).

Обратно, любое решение соотношения (3) имеет вид (4).

При n0,1,…,k1, из равенства (4) мы получим систему линейных уравнений относительно c₁,…,c_k:

(5)

Определитель системы (5) есть известный в алгебре определитель Вандермонда:

.

Так как простые корни x₁,…,x_k попарно различные, то 0. Значит, система (5) имеет (единственное) решение.

Задача 1. Найти общий член геометрической прогрессии по формуле (4).

Решение. Характеристический многочлен рекуррентного соотношения b_nqb_n1 имеет вид . Поэтому .

Задача 2. Найти общее решение соотношения Фибоначчи a_n2a_na_n1.

Решение. Характеристический многочлен рекуррентного соотношения a_n2a_na_n1 имеет вид . Поэтому .

Приведем без доказательства следующее обобщение теоремы 1.

Теорема 2. Пусть характеристический многочлен однородного линейного рекуррентного соотношения (3) имеет k корней: ₁ кратности , …, _k кратности , , . Тогда общее решение рекуррентного соотношения (3) имеет следующий вид:

, (6)

где .

Задача 3. Найти общее решение соотношения .

Решение. Характеристический многочлен имеет корень 2 кратности 3. Поэтому .

Замечание. Общее решение неоднородного линейного соотношения (2) можно найти как сумму общего решения однородного линейного соотношения (3) и частного решения неоднородного линейного соотношения (2).