Лекция № 4.

Тема: Основные правила комбинаторики

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Главные задачи комбинаторики.

2. Правило суммы и правило произведения.

3. Формула включений и исключений для двух множеств.

4. Формула включений и исключений трех множеств.

Краткое содержание лекционного материала

1. Главные задачи комбинаторики. Термин «комбинаторика» был введен Лейбницем («Рассуждения о комбинаторном искусстве», 1666 год).

a) Перечислительной задача. найти число комбинаторных конфигураций с заданными свойствами.

b) Существует ли комбинаторная конфигурация с (очень сложными) заданными свойствами?

c) Алгоритмическая задача. Найти метод генерации комбинаторных конфигураций с заданными свойствами.

d) Оптимизационная задача. Найти комбинаторную конфигурацию с экстремальным значением некоторого параметра.

2. Правило суммы и правило произведения. В теории множеств доказываются следующие правила о числе элементов множеств:

(I) Правило суммы. .

(II) Правило произведения. .

Правило суммы может быть обобщено: если множества попарно не пересекаются, то

.

Правило произведения может быть обобщено:

.

Замечание. Операции объединения, пересечения и декартового произведения двух множеств могут быть обобщены на множеств , , …, .

Объединение множеств , , …, содержит те, и только те, элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A₁,…,A_n:

.

Пересечение множеств , , …, содержит те, и только те, элементы, которые принадлежат одновременно каждому из множеств A₁,…,A_n:

.

Декартово произведение n множеств , , содержит последовательности из n элементов, i-й элемент которой принадлежит множеству :

.

Формулировка правила суммы на языке комбинаторики:

(I) Если объект можно выбрать способами и объект можно выбрать способами, причем, ни один из выборов не совпадает ни с каким выбором , то выбор « или » можно осуществить способами.

Формулировка правила произведения на языке комбинаторики:

(II) Если объект X можно выбрать m способами и объект Y можно выбрать способами, то упорядоченную пару (X,Y) можно выбрать mn способами.

Сформулируем правила суммы и произведения в самом общем виде.

Предположим, что смысл выбора объекта Y в том, чтобы выбрать объекты X₁, X₂, …, X_k соответственно n₁, n₂, …, n_k способами.

(Обобщенное) правило суммы на языке комбинаторики: если для любых i,j{1,2,…,k}, ij, ни один из выборов _i не совпадает ни с каким выбором _j, то объект Y можно выбрать n₁n₂…n_k способами.

(Обобщенное) правило произведения на языке комбинаторики: если для любых i{1,2,…,k} объект X_i выбирается способами, независимыми от выбора объектов X₁, …, X_i1, X_i1, …, X_k, то объект Y можно выбрать n₁n₂…n_k способами.

3. Формула включений и исключений для двух множеств. По правилу суммы можно найти число элементов объединения двух непересекающихся множеств. Найти число элементов объединения двух пересекающихся множеств можно по формуле, сформулированной в следующей теореме.

Теорема 1. ABABAB.

Доказательство. Так как множества A B и B, а также A B и AB не пересекаются, (A B)BAB, (A B)(AB)A, то по правилу суммы

ABA BB,

AA BAB.

Из первого равенства по частям вычтем второе, получим

ABABAB.

Задача 1. В группе 25 студентов. Из них 16 учат английский, 12 – немецкий, 5 – английский и немецкий. Сколько человек в группе освобождены от изучения английского и немецкого языков?

Решение. Пусть A и B – множества студентов, изучающих соответственно английский и немецкий. Тогда AB – множество студентов, изучающих оба языка, AB – множество человек в группе, изучающих хотя бы один из двух языков. В силу теоремы 1, ABABAB1612523. Число студентов, освобожденных от изучения языков: 25232.

4. Формула включений и исключений для трех множеств. Метод включений и исключений при подсчете числа элементов объединения трех множеств заключается в следующем: 1) подсчитываем элементы всех трех множеств без различения элементов; 2) вычитываем число элементов, повторяющихся в каких-либо двух списках; 3) прибавляем число элементов, которые повторяются в трех множествах, поскольку они два раза вычитывались.

Теорема 2. ABCABCABACBCABC.

Доказательство. Так как ABC(AB)C, то, в силу теоремы 1,

ABCABC(AB)C.

Используем свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения: (AB)C(AC)(BC). И ещё раз применим теорему 1:

(AC)(BC)ACBC(AC)(BC).

По свойствам пересечения, (AC)(BC)ABC.

Задача 2. Найти число натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся на 3, 5 и 7.

Решение. Пусть A, B и C – множества чисел, не превосходящих 1000 и кратных 3, 5 и 7 соответственно. Тогда AB, AC, BC и ABC – множества чисел, не превосходящих 1000 и кратных 15, 21, 35 и 105 соответственно. Напомним обозначение: [] – целая часть числа . Вычислим:

A[1000/3]333, B[1000/5]200, C[1000/5]142,

AB[1000/15]66, AC[1000/21]47, BC[1000/35]28,

ABC[1000/105]9.

Далее, ABC – множество чисел, не превосходящих 1000 и кратных хотя бы одному из чисел 3, 5 и 7. По теореме 2,

ABC3332001426647289543.

Значит, число натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 3, 5 и 7, равно 1000543457.

В теоремах 1 и 2 доказаны формулы включений и исключений соответственно для двух и трех множеств.

Сформулируем формулу включений и исключений для n множеств:

A₁…A_nA₁…A_nA₁A₂A₁A₃…A_n1A_n

A₁A₂A₃A₁A₂A₄…A_n2A_n1A_n…

…(1)^n1A₁A₂…A_n1A_n.