ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информатики и методики преподавания математики

Комплект учебно-методических материалов к учебной дисциплине:

Дискретная математика

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Для направления 230700.62 Прикладная информатика

Профиль " Прикладная информатика в образовании "

Ведущий лектор:

Вахитов Р.Х, доцент, кандидат физико-математических наук, доцент

Воронеж

200__

Лекция № 1.

Тема: Элементы теории множеств

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Конечные множества.

2. Операции над множествами.

3. Диаграммы Эйлера – Венна.

4. Отношения между множествами.

5. Теорема о числе подмножеств конечного множества.

Краткое содержание лекционного материала

1. Конечные множества. Множество называется конечным, если оно пустое или может быть задано перечислением элементов в виде конечной последовательности: . Множество, заданное перечислением элементов, не зависит от того, повторяются элементы или нет, и не зависит от того, переставляются элементы или нет. Например, , .

Множество называется -множеством, если все элементы попарно различны. Число при этом называется числом элементов (или мощностью) множества и обозначается . Число элементов пустого множества равно нулю: . Если множество не конечное, то оно называется бесконечным. Понятие мощности множества обобщается и на бесконечные множества. Мощности бесконечных множеств могут быть различными, например, множества и имеют различные мощности.

2. Операции над множествами. Перечислим известные четыре бинарные операции и одну унарную операцию над множествами.

Объединением двух множеств и называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и :

.

Пересечением двух множеств и называется множество всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств и :

.

Разностью множеств и называется множество всех элементов, принадлежащих множеству , но не принадлежащих множеству :

.

Симметрической разностью множеств и называется объединение двух разностей и :

.

Универсальное множество – это множество всех исследуемых объектов.

Дополнением множества называется разность универсального множества и множества :

.

3. Диаграммы Эйлера – Венна. Свойства отношений между множествами и операций над множествами можно наглядно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна (или кругов Эйлера). Каждое данное множество изображается в виде круга. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника.

Результаты операций выделяются в виде частей круга и их соединений.

4. Отношения между множествами. Перечислим известные четыре бинарных отношения между множествами.

Два множества и называются равными , если

.

Множество называется подмножеством множества , если

.

Множество называется собственным подмножеством множества , если и .

Говорят, что множества и не пересекаются, если .

5. Теорема о числе подмножеств конечного множества. Существует множество, содержащее все подмножества данного множества . Оно называется множеством всех подмножеств множества и обозначается :

.

Примеры. Если , то . Если , то .

Теорема 1. Пусть множество конечно. Тогда .

Доказательство. Применим математическую индукцию по числу элементов множества . Заметим, что .

База индукции: . Тогда , и .

Шаг индукции: допустим, что , и для всех множеств с элементами утверждение теоремы 1 выполнено. Так как , можно выбрать некоторый элемент множества . Поскольку , то по индуктивному предположению множество имеет подмножеств, не содержащих элемента . Столько же у него подмножеств, содержащих элемент . Следовательно, . Теорема 1 доказана.

Лекция № 2.

Тема: БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Декартово произведение множеств.

2. Бинарные отношения.

3. Обратное отношение. Композиция отношений.

4. Отношение эквивалентности и фактор-множество.

5. Отношения порядка.

Краткое содержание лекционного материала

1. Декартово произведение множеств. Упорядоченная пара – это объект, в котором указаны первый и второй элементы (соответственно, и ).

Декартовым произведением двух множеств и называется множество всех упорядоченных пар с первым элементом из множества и со вторым элементом из множества :

.

Если , то декартово произведение представляется на координатной плоскости: пара изображается точкой с координатами и .

2. Бинарные отношения. Любое подмножество декартова произведения называется (бинарным) отношением на множестве M.

Пусть и . Тогда пишут .

Приведем основные свойства отношения P, заданного на множестве M:

рефлексивность: для всех xM выполняется xPx;

антирефлексивность: для всех xM неверно, что xPx;

симметричность: для всех x,yM из xPy следует, что yPx;

асимметричность: для всех x,yM из xPy следует неверно, что yPx;

антисимметричность: для всех x,yM из xPy и yPx следует, что xy;

транзитивность: для всех x,y,zM из xPy и yPz следует, что xPz;

связность: для всех x,yM верно, что xPy, или yPz или xy.

3. Обратное отношение. Композиция отношений. Над отношениями, заданными на множестве M, можно производить те же операции, что над множествами: объединение , пересечение , дополнение .

Отношение называется диагональю множества M.

Отношение называется обратным к отношению .

Отношение называется композицией отношений и .

С помощью операций над отношениями можно охарактеризовать свойства отношений: отношение P на множестве M

рефлексивно тогда и только тогда, когда ;

антирефлексивно тогда и только тогда, когда ;

симметрично тогда и только тогда, когда ;

асимметрично тогда и только тогда, когда ;

антисимметрично тогда и только тогда, когда ;

транзитивно тогда и только тогда, когда ;

связно тогда и только тогда, когда .

3. Отношение эквивалентности и фактор-множество. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется эквивалентностью.

Пусть  есть эквивалентность на множестве M, а xM. Тогда множество [x]{y|yx} называется классом эквивалентности, порожденным элементом x.

Фактор-множество множества относительно эквивалентности  – это семейство всех классов эквивалентности: M/{[x]|xM}.

Семейство множеств M_i, iI, называется разбиением M на классы, если:

1) для всех iI множество M_i непустое подмножество M: M_i, M_iM;

2) множества M_i попарно не пересекаются: M_i M_j, где ij;

3) объединение всех M_i, iI, совпадает с множеством M.

Теорема 1. Пусть на множестве M задана эквивалентность . Тогда семейство всех классов эквивалентности [x], xM, есть разбиение M на классы.

Теорема 2. Пусть дано разбиение M на классы. Тогда отношение P на M, такое, что xPy"x и y принадлежат одному классу" есть эквивалентность.

Пример. Разбиение множества всех учеников школы на классы определяет эквивалентность "ученики x и y учатся в одном классе".

5. Отношения порядка. Асимметричное и транзитивное отношение называется порядком. Если порядок является также рефлексивным (антирефлексивным), то называется нестрогим (строгим) порядком. Связный порядок называется линейным. Примеры строгих порядков: ,  на множестве R, ,  на множестве 2^M, где M – некоторое множество. Примеры нестрогих порядков: ,  на множестве R, ,  на множестве 2^M. Порядки , , ,  являются линейными, а порядки , ,,  – нелинейными. Отношение «x делится на y» является нелинейным нестрогим порядком на множестве N, но не на множестве Z. Лексикографический порядок (Расположение слов по алфавиту) является линейным строгим порядком на множество слов некоторого алфавита.