Побудова та дослідження графіків функцій.

Поняття асимптот графіка функції.

Пряма називається асимптотою графіка функції , якщо відстань від точки яка лежить на графіку, до цієї прямої прямує до нуля при віддалені цієї точки по графіку у нескінченність.

Існує три види асимптот: вертикальні, горизонтальні, та нахилені.

Вертикальні асимптоти

Якщо для функції виконується хоча б одна з умов або то пряма називається вертикальною асимптотою.

Якщо досліджувана функція неперервна то вертикальних асимптот у її графіка немає.

Горизонтальні асимптоти

Якщо існує скінченна границя то пряма називається правою горизонтальною асимптотою.

Якщо то правої горизонтальної асимптоти нема.

Якщо існує скінченна границя то пряма називається лівою горизонтальною асимптотою.

Якщо то лівої горизонтальної асимптоти нема.

Нахилені асимптоти

Якщо існують границі і то пряма називається правою нахиленою асимптотою.

Якщо існують границі і то пряма називається лівою нахиленою асимптотою.

Асимптоти зображують за допомогою штрихованих прямих.

Опуклість і увігнутість графіка функції. Точки перегину.

Правило відшукання проміжків опуклості і увігнутості

графіка функції, а також точок перегину.

Графік функції називається опуклим в деякому проміжку, якщо він розташований нижче дотичної, проведеної до нього в будь якій точці цього проміжку.

Графік функції називається увігнутим в деякому проміжку, якщо він розташований вище дотичної, проведеної до нього в будь якій точці цього проміжку.

Точкою перегину графіка функції називається точка яка відділяє ділянку опуклості від ділянки увігнутості.

Ілюстрація понять опуклості та увігнутості

Ілюстрація поняття опуклості

Ілюстрація поняття увігнутості

y

0

x

Ілюстрація поняття точки перегину

Правило відшукання проміжків опуклості і увігнутості графіка функції, а також точок перегину:

1. Знайти точки в яких друга похідна має нулі або розриви.

2. Визначити методом проб знак в проміжках на які отримані в п. 1 точки ділять область визначення функції ; проміжки, в яких , є проміжками опуклості, а проміжки, в яких - проміжками увігнутості графіка функції . При цьому якщо на двох сусідніх проміжках, гранична точка яках є нулем другої похідної, знак однаковий, то вони складають єдиний проміжок опуклості чи увігнутості.

3. З отриманих у п. 1 виділити ті, в яких функція визначена і по різні сторони від кожної з яких друга похідна має протилежні знаки – це і є абсциси точок перегину графіку функції .

Результати дослідження функції на опуклість оформлюють у вигляді таблиці яку називають таблицею для визначення типів опуклості та точок перегину.

Ця таблиця складається з трьох рядків.

Заголовок першого рядка: Інтервал.

В першому рядку вказують інтервали які визначаються в Правилах знаходження проміжків різного типу опуклості функції.

Заголовок другого рядка: Знак на інтервалі.

В другому рядку вказують знаки для відповідних інтервалів у першому рядку. Це робиться за допомогою методу проб.

Заголовок третього рядка: Тип опклості.

В третьому рядку вказують тип опуклості функції , який відповідає знаку в другому рядку. Тобто, якщо , то пишуть слово , якщо то пишуть слово . При цьому якщо на двох сусідніх проміжках, гранична точка яках є нулем другої похідної, знак однаковий, то вони складають єдиний проміжок з фіксованим типом опуклості (але в таблиці залишають обидва проміжки).

Існує скорочений варіант вказування типу монотонності: замість слова опукла зображують дугу: , а замість слова увігнута зображують дугу: .

Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка.

1. Знайти область визначення функції.

2. У випадку, якщо область визначення функції симетрична відносно початку координат, перевірити, чи не є функція парною або непарною; перевірити також чи не є вона періодичною.

3. Знайти точки перетину графіка з осями координат та розриви функції, чи оцінити їх локалізацію.

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Знайти проміжки монотонності функції

6. Знайти екстремуми, визначити тип екстремумів. Знайти екстремальні значення функції.

7. Знайти проміжки опуклості та увігнутості графіка функції, його точки перегину.

8. Побудувати графік функції використовуючи отримані результати дослідження.

Задача на побудову графіка неперервної функції.

Задача.

Побудувати графік функції .

Розв’язок (за загальною схемою).

Область визначення

Функція непарна

Функція неперервна

Знайдемо нулі функції.

Для цього треба розв’язати рівняння .

Корені цього рівняння 0 та .

Дослідимо питання про наявність асимптот.

Оскільки досліджувана функція неперервна то вертикальних асимптот у її графіка немає.

Оскільки , то горизонтальних асимптот немає.

Оскільки то похилих асимптот немає.

Дослідимо функцію на монотонність.

Знайдемо нулі похідної:

Корені цього рівняння -1, та 1.

Знайдемо значення функції в критичних точках

Для побудови множини інтервалів для таблиці визначення типів монотонності треба на числовій прямій відмітити нулі першої похідної та точки її розриву.

Оскільки точок розриву немає відмічаємо тільки нулі похідної.

-1

1

Таблиця для визначення типу монотонності.

Інтервал
Знак на інтервалі	+	-	+
Тип монотонності	зростає	спадає	зростає

Дослідимо функцію на опуклість.

- точка перегину

Таблиця для визначення типу опуклості

Інтервал
Знак на інтервалі	-	+
Тип опуклості	опукла	увігнута

Задача на побудову графіка функції з вертикальними та нахиленими асимптотами.

Задача.

Побудувати графік функції

Розв’язок (за загальною схемою).

1. Область визначення:

2. Дослідження функції на парність або непарність:

, функція непарна

3. Дослідження функції на неперервність:

Функція розривна в точках .

Ці точки є розривами другого роду.

4. Відшукання точок перетину графіка функції з осями координат.

Знайдемо нулі функції.

Для цього треба розв’язати рівняння.

Корінь цього рівняння 0.

.

Таким чином точка перетину з осями координат є початком координат.

5. Дослідження питання про наявність асимптот.

Оскільки досліджувана функція розривна в точках і ці точки є розривами другого роду то існують дві вертикальні асимптоти .

.Дослідимо поведінку функції в околі вертикальних асимптот:

Оскільки , то горизонтальних асимптот немає.

Оскільки , а також

то існує нахилена асимптота рівняння якої .

6. Дослідження функції на монотонність та відшукання екстремальних точок.

Знайдемо похідну :

Знайдемо нулі похідної:

Корені цього рівняння

0, , та .

Знайдемо значення функції в критичних точках:

Для побудови множини інтервалів для таблиці визначення типів монотонності треба з області визначення функції виключити нулі першої похідної.

0

-2

2

Таблиця для визначення типів монотонності та екстремальних точок.

Інтервал
Знак на інтервалі	+	-	-	-	-	+
Тип монотонності	зростає	спадає	спадає	спадає	спадає	зростає

Дослідимо знак в малих околах нулів похідної:

При переході від інтервалу до інтервалу , знак змінюється з «+» на «-» таким чином точка максимуму.

При переході від інтервалу до інтервалу , знак змінюється з «-» на «+» таким чином точка мінімуму.

При переході від інтервалу до інтервалу , знак не змінюється таким чином не є ні точкою максимуму ні точкою мінімуму.