1.3.2 Плоскость

Как отмечалось выше, стереографическая проекция плоскости является окружность. На рис. 5 изображена плоскость ∑, которая пересекает сферу по окружности d. При проецировании этой окружности на плоскость проекций П´ проецирующие лучи, проведённые через её точки, образуют в пространстве коническую поверхность, которую относят к группе эллиптических с круговой направляющей d. Плоскость П´ пересекает эту поверхность по кривой d´, которая и будет стереографической проекцией плоскости ∑. Кривая d´является окружностью.

Рис. 5

Для доказательства этого обратимся к рис. 6, а, на котором изображена коническая поверхность с круговой направляющей d, расположенной в горизонтальной плоскости Г. Диаметр АВ направляющей при своём продолжении пересекает в точке К перпендикуляр, опущенный из точки S на плоскость Г. Перпендикуляр SK и диаметр АВ как две пересекающиеся прямые определяют в пространстве плоскость симметрии этой поверхности – Ω, которая пересекает коническую поверхность по образующим t и t'.

Коническая поверхность с круговой направляющей обладает двумя семействами круговых сечений. Первое семейство круговых сечений образует плоскости, проведённые параллельно плоскости Г. Направление второго семейства может быть получено пересечением конической поверхности плоскостью Λ, проведённой перпендикулярно к плоскости симметрии Ω так, чтобы линия n пересечения этих плоскостей с t и t'составляла углы, равные соответствующим углам, составленным этими образующими и диаметром АВ направляющей d: SCD= SBA; SDC= SAB.

Прямая n, пересекаясь с образующими t и t' и диаметром АВ, отсекает на плоскости треугольники АСЕ и DBE, в которых по построению САЕ= BDE, ACE= DBE, а СЕА= BED-углы вертикальные. Из сказанного следует, что треугольники АСЕ и DBE подобны. Плоскость Λ пересекает коническую поверхность по кривой m, точки С и D которой принадлежат образующим t и t´. Полученная кривая является окружностью, а отрезок CD –её диаметром. Доказательством тому служит известное положение: если из произвольной точки R окружности опустить перпендикуляр RP на её диаметр MN, то МP•PN=PR² и обратно: если для произвольной точки R кривой и некоторой прямой MN имеет место приведённое равенство, то эта кривая является окружностью (рис. 6,б).

Отпустим из точки F кривой d перпендикуляр FE на диаметр АВ. Так как кривая d является окружностью, то на основании изложенного: АЕ•ЕВ=FE². Но точка F принадлежит кривой m, а отрезок FE перпендикулярен отрезку CD прямой n. В подобных треугольниках АСЕ и DBE имеет место пропорция СЕ/AE=BE/DE, откуда CE•DE=AE•BE. Но АЕ•ВЕ=FE², тогда СЕ•DE=FE². Из последнего равенства следует, что кривая m является окружностью. Таким образом, второе семейство круговых сечений рассматриваемой конической поверхности образует плоскости, проведённые параллельно плоскости Λ.

а)

б)

Рис. 6

Изложенное положение относится и к расположению плоскостей ∑ и П´ относительно образующих SB´ и SU проецирующей конической поверхности(см. рис. 5). Как видно из рис. 7,а, на котором изображён профиль разреза сферы по направлению линии падения плоскости ∑, в прямоугольных треугольниках U₀S₀B₀ и B´₀O₀S₀ угол U₀B₀S₀ = B₀S₀O₀ (равные углы равнобедренного треугольника O₀S₀B₀), тогда и S₀U₀B₀= S₀B´₀О₀. Из последнего равенства вытекает равенство углов в прямоугольных треугольниках U₀B₀S₀ и В´₀S₀U´₀: S₀U₀B₀= S₀B´₀U´₀, следовательно, и S₀U₀B₀= S₀U´₀B'₀. Итак, образующие SB´ и SU конической поверхности (см. рис.5) составляет с плоскостями ∑ и П´ углы, попарно равные друг другу (рис. 7,а):

S₀B´₀U´₀= S₀U₀B₀;

S₀U'₀B'₀= S₀B₀U₀.

Из равенства улов следует, что плоскость проекций П´ пересекает проецирующую коническую поверхность по окружности d´, которая и является стереографической проекцией плоскости ∑. На разрезе она изобразилась отрезком B´₀U´₀, длина которого соответствует диаметру окружности.

Построение стереографической проекции плоскости показано на рис. 7,б. Положение центра F окружности определяют по профилю разреза: O´F=О₀F₀.

Отрезок ED, являющийся линией пересечения плоскости ∑ с плоскостью проекций П´, будет линией простирания (горизонталью) плоскости, а точка U´ - стереографической проекцией её линии падения. Истинное падение плоскости направленно от точки U´ к точке O´.

а) б)

Рис. 7