1.2.1 Основные свойства стереографических проекций

Следующие три свойства стереографических проекций особенно важны, так как позволяют очень просто изучать на чертеже взаимные наклоны лучей в пространстве (при помощи промежуточного их преобразования на сферу)

1. Проекции всех точек верхней полусферы располагаются внутри основного круга;

2. Стереографическая проекция плоскости в общем случае является окружностью. В частном случае её проекция вырождается в прямую линию (когда изображается вертикальная плоскость);

3. Углы, составленные проекциями плоскостей, равны углам между этими плоскостями в пространстве, т.е. эти проекции конформны. Указанное свойство и позволяет использовать стереографические проекции при определении угловых величин для решения задач.

1.3 Прямая линия и плоскость в стереографических проекциях

1.3.1 Прямая линия

Стереографическая проекция прямой определяется стереографическими проекциями точек пересечения её с поверхностью сферы, через центр которой эта прямая проходит, (рис.2,а). Так как прямая m в пространстве проходит через центр сферы, то её стереографическая проекция m´ будет проходить через центр основного круга - точку О´ (рис.2б).Точки пересечения прямой с поверхностью сферы, а также их стереографические проекции могут быть определены по профилю разреза, выполненного плоскостью Λ по направлению прямой m (рис.2.в).

а) б)

в)

Рис. 2

Плоскость разреза Λ пересекает сферу по окружности t_o, а плоскость П´ - по прямой h_o. Пересечение окружности t_o с профилем m_o определяет точки М₀ и В₀ пересечения прямой m с поверхностью сферы. Проецирующие лучи, проведённые из точки S к точкам М₀ и В₀ в пересечении с прямой h_o определяют стереографические проекции этих точек – точки М´₀ и В´₀. Расстояние этих точек от точки О₀ на разрезе равно расстоянию от их стереографических проекций до центра основного круга: О₀ В´₀=О´В´ и О´₀ М´₀= О´₀ М´₀.

Заметим ,что угол В´₀S₀М₀, составленный проецирующими лучами, проведёнными к точкам М₀ и В₀ пересечения прямой со сферой, равен 90⁰ как угол, опирающийся на диаметр В₀М₀ окружности t_o.

Для построения стереографической проекции прямой достаточно построить проекцию точки М, пересечения прямой с верхней полусферой, так как проекция такой точки всегда располагается в пределах основного круга. Проекция точки М и центр основного круга точка О однозначно определяет на чертеже пространственное расположение прямой m и стереографическая проекция прямой m определяется только одной точкой - проекцией точки пересечения с верхней полусферой. Условимся определитель прямой записывать в следующей форме: m (М´).

Стереографическую проекцию точки М можно построить совмещением плоскости разреза Λ с плоскостью основного круга (рис. 3,а). Вращение производят вокруг линии ОМ´ пересечения плоскости разреза с плоскостью П´. При совмещение окружность t разреза совпадает с основным кругом, главный луч SO займет положение, перпендикулярное к проекции прямой, центр проекции S расположится на основном круге в точки О, профиль прямой m пройдет через точку О и составит с направлением восстания угол α.

а)

б) в)

Рис. 3

Пересечение профиля m_o с основным кругом определяет точку М₀ пересечения прямой с поверхностью сферы. Точка М´ пересечения проецирующего луча S₀М₀ с направлением восстания прямой является стереографической проекцией прямой m (рис. 3,б). Стереографическую проекцию точки М можно построить и без разреза сферы по направлению прямой (рис. 3,в), если учесть, что угол β прямоугольного треугольника S₀O´M´, гипотенуза S₀M´ которого в пересечении со стереографической проекцией прямой m определяет точку М´, равен (90⁰ –α)/2, где угол α - угол падения прямой m. Это равенство вытекает из равнобедренного треугольника S₀O´M´, в котором

О´S₀M₀ = O´М₀S₀=β, а S₀ O´М₀ =90⁰ +α. Тогда 90⁰ + α +2β=180⁰, откуда β= (90⁰ - α)/2.

Падение прямой направлено от точки М´ к центру основного круга. Расстояние от стереографической проекции прямой до центра основного круга зависит от угла падения прямой.

Рис. 4

Как видно из рис.4, при горизонтальном расположении прямой её стереографическая проекция располагается на линии основного круга. С увеличением угла падения прямой её стереографическая проекция М´ приближается к центру основного круга. При вертикальном расположении стереографическая проекция прямой совпадает с центром основного круга: Т´≡О´. Если из центра основного круга провести окружность радиусом О´М´, то каждая точка N´,D´,L´,…этой окружности может быть стереографической проекцией прямых n,d,l,…, углы падения которых равны углу падения прямой m. Эти прямые будут отличаться друг от друга только направлением падения.