2.4.4. Кинематический анализ пространственных рычажных механизмов с открытыми кинематическими цепями

Рассматриваемый метод кинематического анализа очень удобен для определения кинематических характеристик движения звеньев пространственных рычажных механизмов, в том числе – с незамкнутыми кинематическими цепями. На рис. 2.26 показана структурная схема манипулятора с расположенными в шарнирах А, В и С координатными системами.

Рис. 2.26. Схема пространственной кинематической цепи манипулятора

С неподвижным основанием 0 связана система координат X₀Y₀Z₀ (ось X₀ направлена вдоль оси кинематической пары А), со звеном 1 – система координат X₁Y₁Z₁ ( ось Х₁ направлена вдоль оси кинематической пары А), со звеном 2 – система координат X₂Y₂Z₂ (ось Х₂ направлена вдоль звена 2), со звеном 3 – система координат X₃Y₃Z₃ (ось Х₃ направлена вдоль звена 3). Точка Р расположена на звене 3 в схвате манипулятора. Целью кинематического анализа данного механизма является определение функции положения точки Р схвата манипулятора в зависимости от углов поворота в кинематических парах А, В и С, скоростей и ускорений изменения координат точки схвата.

Уравнение преобразования координат точки Р будет иметь следующий вид:

X_0(P) = V₁₀ L₂₁ + V₂₁ L₃₂ + V₃₂ X_3(P) , (2.32)

где X_3(P) = - матрица-столбец координат точки Р в системе X₃Y₃Z₃;

X_0(P) = -матрица-столбец координат точки P в системе X₀Y₀Z₀.

Матрицы поворотов во вращательных парах и параллельных переносов вдоль звеньев при переходе от одной системы координат к другой будут определяться следующим образом:

V₃₂ = ; L₃₂ = ;

V₂₁ = ; L₂₁ = ;

V₁₀ = .

Произведя преобразования согласно (2.32), получим систему уравнений, определяющих координаты точки Р:

x_P = l_BC cos + l_CP cos ( ) ,

y_P = l_BC sin cos + l_CP sin ( ) cos , (2.33)

z_P = l_BC sin sin + l_CP sin ( ) sin .

Продифференцировав выражения (2.33) по времени, получим значения скоростей и ускорений изменения координат точки Р.

2.4.5. Использование пэвм при решении задач кинематического анализа

Удобство рассмотренного аналитического метода кинематического анализа состоит в простоте составления функции положения. Для ее дифференцирования целесообразно применение ПЭВМ. Численное дифференцирование аналитически заданной функции Y(x) заключается в замене Y(x) интерполяционным полиномом Р(х), производные dⁿP(x) / dxⁿ dⁿY(x) / dxⁿ которого можно найти аналитически с помощью соответствующих выражений [2]:

dY(x) / dx = ( -Y2 + 8Y1 - 8Y-1 + Y-2 ) / 12h ;

d2Y(x) / dx2 = (-Y2 + 16Y1 - 30Y0 + 16Y-1 - Y-2 ) / 12h2 ,

где h – шаг дифференцирования;

Y-2, Y-1, Y0, Y1 и Y2 – значения функции Y(x) при соответствующей величине х;

x0 – исходное значение х;

х-2 = x0 - 2h;

x-1 = x0 - h ;

x1 = x0 + h ;

x2 = x0 + 2h .

Для решения задач кинематического анализа плоских четырехзвенных механизмов, в состав которых входят структурные группы различных видов, могут быть составлены программы на простом в обращении языке Турбо-Бейсик в соответствии со схемой алгоритма, представленной на рис. 2.27. В блок-схеме используются следующие условные обозначения:

N – количество рассматриваемых положений механизма;

X(I) – значение угла поворота входного звена в соответствующем положении механизма;

h – шаг дифференцирования;

F1 – первая производная функции Y(x);

F2 – вторая производная функции Y(x).

Эти же программы расчета кинематических характеристик могут быть использованы для исследования кинематики многозвенных механизмов 2-го класса, кинематические цепи которых состоят из четырехзвенных замкнутых контуров. Данный алгоритм справедлив и для составления программ расчета при анализе пространственных рычажных механизмов.

В качестве примера представлена программа расчета кинематических характеристик кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.28).

Рис. 2.28. Схема кривошипно-ползунного механизма

print "кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма"

print "введите размеры в метрах кривошипа l1, шатуна l2 и смещения e"

input l1,l2,e

print "введите расстояние до центра масс шатуна ls2"

input ls2

print "введите величину шага дифференцирования h"

input h

dim a(20)

print "введите количество положений механизма n (n<=20)"

input n

for j=1 to n

print "введите значение угла поворота кривошипа, соответствующее положению j. "

print " Начало отсчета - горизонтальное положение кривошипа справа."

print " Положительное направление отсчета - против часовой стрелки."

input a(j)

next j

lprint tab(5);"l1=";using "#.###";l1;

lprint tab(20);"l2=";using "#.###";l2;

lprint tab(35);"e=";using "##.###";e

lprint tab(5);"ls2=";using "#.###";ls2

lprint "=============================================

lprint tab(2);"F0";tab(13);"X";tab(23);"d1X";tab(33);"d2X";

lprint "=============================================

for j=1 to n

i=a(j)

x=3.14125*i/180

x=x

gosub 15:f=y:f2=-30*y

x=x-2*h

gosub 15:f1=y:f2=f2-y

x=x+h

gosub 15:f1=f1-8*y:f2=f2+16*y

x=x+2*h

gosub 15:f1=f1+8*y:f2=f2+16*y

x=x+h

gosub 15:f1=f1-y:f2=f2-y

x=x-2*h

f1=f1/(12*h)

f2=f2/(12*h*h)

lprint tab(0);i;

lprint tab(9);using"####.###";f;

lprint tab(19);using"####.###";f1;

lprint tab(30);using"####.###";f2

lprint "-------------------------------------------------------------------"

next j

lprint "============================================="

lprint tab(2);"F0";tab(13);"F1";tab(23);"d1F1";tab(33);"d2F1"

lprint "============================================="

for j=1 to n

i=a(j)

if i<=180 then 10

if i>180 then 20

10 x=3.14125*i/180

x=x

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 50

x=x-2*h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 60

x=x+h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 70

x=x+2*h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 80

x=x+h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 90

x=x-2*h

gosub 100:gosub 110:goto 25

20 x=3.14125*i/180

x=x

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 50

x=x-2*h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 60

x=x+h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 70

x=x+2*h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 80

x=x+h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 90

x=x-2*h

gosub 100:gosub 110

25 next j

lprint "==============================================

lprint tab(2);"F0";tab(9);"XS2";tab(16);"d1XS2";tab(26);"d2XS2";

lprint tab(36);"YS2";tab(43);"d1YS2";tab(53);"d2YS2";

lprint tab(64);"VS2";tab(72);"AS2"

lprint "==============================================

for j=1 to n

i=a(j)

if i<=180 then 11

if i>180 then 21

11 x=3.14125*i/180

x=x

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 50

x=x-2*h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 60

x=x+h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 70

x=x+2*h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 80

x=x+h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 90

x=x-2*h

gosub 100:gosub 120:goto 26

21 x=3.14125*i/180

x=x

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 50

x=x-2*h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 60

x=x+h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 70

x=x+2*h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 80

x=x+h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 90

x=x-2*h

gosub 100:gosub 120

26 next j

end

15 y=l1*cos(x)+sqr((l2^2)-(e-l1*sin(x))^2)

return

30 a=sqr((l2^2)-(e-l1*sin(x))^2)/l2

b=sqr(1-a*a)/a

yr011=atn(b)

return

35 yr11=6.2825-yr011

return

40 yr11=6.2825+yr011

return

45 yr1=yr11-x

y1=180*yr1/3.14125

y2=l1*cos(x)+ls2*cos(yr11)

y3=l1*sin(x)+ls2*sin(yr11)

return

50 ff=yr1: ff2=-30*yr1:

fxs=y2: fxs2=-30*y2:

fys=y3: fys2=-30*y3

return

60 ff1=yr1: ff2=ff2-yr1:

fxs1=y2: fxs2=fxs2-y2:

fys1=y3: fys2=fys2-y3

return

70 ff1=ff1-8*yr1: ff2=ff2+16*yr1:

fxs1=fxs1-8*y2: fxs2=fxs2+16*y2:

fys1=fys1-8*y3: fys2=fys2+16*y3

return

80 ff1=ff1+8*yr1: ff2=ff2+16*yr1:

fxs1=fxs1+8*y2: fxs2=fxs2+16*y2:

fys1=fys1+8*y3: fys2=fys2+16*y3

return

90 ff1=ff1-yr1: ff2=ff2-yr1:

fxs1=fxs1-y2: fxs2=fxs2-y2:

fys1=fys1-y3: fys2=fys2-y3

return

100 ff1=ff1/(12*h)

fxs1=fxs1/(12*h)

fys1=fys1/(12*h)

ff2=ff2/(12*h*h)

fxs2=fxs2/(12*h*h)

fys2=fys2/(12*h*h)

ffg=180*ff/3.14125

vs2=sqr(fxs1*fxs1+fys1*fys1)

as2=sqr(fxs2*fxs2+fys2*fys2)

return

110 lprint tab(0);i;

lprint tab(9);using"####.###";ff;

lprint tab(19);using"####.###";ff1;

lprint tab(30);using"####.###";ff2;

lprint "-------------------------------------------------------------------

return

120 lprint tab(0);i;

lprint tab(5);using"####.###";fxs;

lprint tab(14);using"####.###";fxs1;

lprint tab(23);using"####.###";fxs2;

lprint tab(32);using"####.###";fys;

lprint tab(41);using"####.###";fys1;

lprint tab(50);using"####.###";fys2;

lprint tab(59);using"####.###";vs2;

Примем размеры звеньев: l₁ = 0,02 м, l₂ = 0,70 м, e = 0. Количество рассматриваемых положений механизма n = 5. Изменение угла поворота входного звена от 0^о до 40^о через 10^о. Шаг дифференцирования h = 0,1. Результаты расчетов представлены в таблице ___.

В таблице используются следующие условные обозначения:

X – перемещение точки С, м;

d1X – аналог скорости точки С;

d2X – аналог ускорения точки С;

F1 – угол поворота ₁, рад.;

d1F1 – аналог угловой скорости поворота звена 2 в кинематической паре В;

d2F1 – аналог углового ускорения поворота звена 2 в кинематической паре В;

XS2 – проекция перемещения точки S₂ на ось X;

d1XS2 – аналог скорости изменения проекция перемещения точки S₂ на ось X;

d2XS2 – аналог ускорения изменения проекция перемещения точки S₂ на ось X;

YS2 – проекция перемещения точки S₂ на ось Y;

d1YS2 – аналог скорости изменения проекция перемещения точки S₂ на ось Y;

d2YS2 – аналог ускорения изменения проекция перемещения точки S₂ на ось Y;

VS2 – величина аналога скорости точки S₂;

AS2 – величина аналога ускорения точки S₂.

Таблица 1.2

Результаты кинематического анализа

2.5. Координатный метод кинематического

исследования стержневых механизмов

2.5.1. Координатный метод для механизмов 1 класса

В кинематике механизмов рассматривают движение звеньев без учета действия внешних сил. Такое исследование является предварительным эта­пом перед всесторонним изучением движения в динамике. Результатом ки­нематического исследования является определение перемещений, скоростей и ускорений точек звеньев, а также самих звеньев механизма. Изменения ки­нематических параметров сопоставляются в зависимости от времени или от положения звеньев. Например, изменение положения рабочего органа меха­низма зависит от положения ведущего звена.

У механизма, показанного на рис. 2.28 положение звена ОА полностью определяется обобщенной координатой  - углом поворота звена. Система декартовых координат, связанная со стойкой механизма, далее считается аб­солютной. Связь между углом  и декартовыми координатами X, Y очевидна. Для точки А кривошипа имеем

(2.34)

где – длина кривошипа.

ω

A

O

φ

X

Y

Рис. 2.28. Механизм первого класса

Таким образом, декартовы координаты являются функциями обобщен­ной координаты: X(φ), Y(φ). Дифференциальные зависимости называют проекциями аналогов скорости на соответствующие оси координат. Аналог скорости и его проекции связаны между собой зависимостью

Между линейной скоростью точки звена и аналогом скорости существует однозначная зависимость. Например, для скорости точки А звена ОА получим:

(2.35)

где ω – угловая скорость звена ОА.

Ускорение точки А также определяется через проекции на оси коорди­нат. Связь между проекциями ускорения и проекциями его аналогов устанав­ливается по правилам дифференцирования сложной функции. Например,

где ε – угловое ускорение звена. Символ А опущен с целью упрощения записи.

Аналогично определяются проекции ускорения на ось Y. Если угловая скорость постоянна, ω = const, то для ускорения точки А получим

(2.36)

где – аналог ускорения точки A в основном движении звена.

Приведенные выше зависимости легко обобщить для определения скоростей и ускорений любых точек звеньев механизма. Таким образом, скорости и ускорения звеньев зависят как от угловой скорости ведущего звена, так и от его положения.