5. Геометрический синтез эвольвентного
ПРЯМОЗУБОГО ВНЕШНЕГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Задачей геометрического синтеза зубчатого зацепления является определение его размеров, а также качественных характеристик (коэффициентов перекрытия, относительного скольжения и удельного давления), зависящих от геометрии зацепления [1,8].
5.1. Эвольвента окружности
Эвольвентная зубчатая передача - цилиндрическая зубчатая передача, профили зубьев которой выполнены по эвольвенте окружности.
Эвольвенты окружности описываются точками производящей прямой при ее перекатывании по окружности, которую называют основной (рис. 5.1).
Основная окружность является эволютой - геометрическим местом центров кривизны эвольвенты. Согласно определению нормаль к эвольвенте (на которой лежит центр кривизны) является касательной к эволюте.
Форма эвольвенты окружности определяется только радиусом основной окружности rb.
Производящая прямая является нормалью к эвольвенте в рассматриваемой произвольной точке M.
Отрезок нормали в произвольной точке эвольвенты lMA = равен радиусу ее кривизны и является касательной к основной окружности.
Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности.
Параметрические уравнения эвольвенты получим из схемы, изображенной на рис. 5.1. Так как производящая прямая перекатывается по основной окружности без скольжения, то дуга М0A равна отрезку MA.
Для дуги окружности
М0A = rb(Θ + ).
Из треугольника OMA:
MA = rb tg ,
(y + rb) = rb / cos .
Откуда:
y = rb (1 - cos )/ cos ,
Θ + = tg ,
Θ = tg - .
Рис. 5.1. Схема образования эвольвенты
Полученная функция угла называется эвольвентной функцией и обозначается inv (инволюта)
inv = tg - .
Полученной функцией пользуются для аналитического определения направления радиуса-вектора OM. Для удобства вычислений составляются таблицы inv для различных значений угла .
5.2. Эвольвентное зацепление и его свойства
В зубчатой передаче контактирующие элементы двух профилей выполняются по эвольвентам окружности и образуют так называемое эвольвентное зацепление (рис. 5.2). Это зацепление обладает рядом полезных свойств, которые и определяют широкое распространение эвольвентных зубчатых передач в современном машиностроении. На рис. 5.2 изображены эвольвенты Э1 и Э2 двух сопряженных профилей зубьев зубчатых колес 1 и 2. Окружности радиусов rb1 и rb2 являются основными окружностями соответствующих эвольвент, окружности радиусов rw1 и rw2 – начальными окружностями, точка Р – полюсом зацепления, угол αw – углом зацепления.
Рис. 5.2. Схема эвольвентного зацепления
Профили зубьев круглых колес, построенных по эвольвентам, всегда обеспечивают передачу движения с постоянным передаточным отношением. Передаточное отношение эвольвентного зацепления определяется только отношением радиусов основных окружностей и является величиной постоянной.
u12 = 1 /2 = - rw2 / rw1 = - (rb2 ∙cos w )/ (rb1∙cos w ) = - rb2 / rb1 = const.
При изменении межцентрового расстояния О1О2 колес с эвольвентным профилем зубьев передаточное отношение не изменяется, если при этом сохранены радиусы основных окружностей. Изменение расстояния между осями колес может иметь место при монтаже и сборке механизма. На рис. 5.3 показаны два колеса с центрами в точках О1 и О2, находящиеся в зацеплении. Предположим, центр О2 переместится в положение О’2. При этом прямая n – n займет положение n’ – n’. Полюс зацепления будет в точке Р’. Тогда изменятся и радиусы начальных окружностей. Вместо радиусов rw1 и rw2 будем иметь соответственно r’w1 и r’w2. Изменится и угол зацепления w, который примет значение ’w. Передаточное же отношение u12 будет по-прежнему равно
u12 = 1 /2 = - r’w2 / r’w1 = - (rb2 ∙cos ’w )/ (rb1 ∙cos ’w ) = - rb2 / rb1 .
Рис. 5.3. Схема изменения межцентрового расстояния колес
с эвольвентным зацеплением