4.3. Способ Виттенбауэра

В основу способа положена диаграмма энерго-масс, т.е. зависимость изменения кинетической энергии звена приведения от приведенного момента инерции .

Имея графики и можно методом исключения оси построить диаграмму (рис. 4.1, г), соответствующую времени цикла установившегося движения. Суть метода показана на рисунке для положения 1 звена приведения и образования точки диаграммы.

Из формулы кинетической энергии вращающегося звена, можно записать следующее равенство:

(4.8)

С другой стороны, для любой точки диаграммы (рис.1, г), соответствующей k-му положению звена приведения, имеет место

(4.9)

где – угол между осью абсцисс диаграммы и лучом, соединяющим начало координат O с точкой k;

– масштабы диаграммы по соответствующим осям.

Приравняв правые части формул (4.8) и (4.9), получим следующее соотношение:

(4.10)

т.е. тангенс угла в k-м положении пропорционален квадрату угловой скорости.

Поскольку угловая скорость звена приведения колеблется от до , то на основании формулы (4.10) с учетом (4.3) будем иметь:

(4.11)

Наконец, если провести под углами и касательные диаграмме то точка касания будет соответствовать положениям звена приведения, в которых угловая скорость принимает экстремальные значения.

Момент инерции маховика может быть найден графически непосредственно по диаграмме энерго-масс. Для этого необходимо продолжить касательные к диаграмме энерго-масс до пересечения их в точке O (см. рис. 4.1, г). Тогда отрезок Op оси абсцисс в масштабе будет соответствовать моменту инерции маховика

(4.12)

При малых значениях коэффициента движения углы и мало отличаются друг от друга и поэтому начало координат O обычно выходит далеко за пределы поля чертежа.

n

m

φ

p

q

k

φ

O

o

φ

а

б

в

г

1

Рис. 4.1. Определение момента инерции маховика методом Виттенбауэра:

а – графики приведенных моментов сил; б – график изменения кинетической энергии механизма; в – график приведенного момента инерции; г – кривая (диаграмма)

энерго-масс.

В этом случае момент инерции махового колеса находят по следующей формуле:

(4.13)

Действительно (см. рис. 4.1, г), так как величина отрезка на оси ординат то составляющие будут и

С учетом выражении (4.11) и (4.12) легко перейти к формуле (4.13).

Порядок решения задачи

1. Приводят силы к ведущему звену. На рис. 4.1, а построены графики приведенных моментов движущих сил и сил сопротивлений. В отличии от сопротивлений, приведенный момент движущих сил принят постоянным. Может быть и противоположная ситуация, если переменный, то принимается постоянным. Для приведения сил обычно выбирается не менее 12 положений механизма.

2. По графикам приведенных моментов движущих сил и сил сопротивлений находят избыточную работу или изменение кинетической энергии (см. рис. 4.1, б) в заданных положениях механизма. Эта задача может быть решена методом площадей или графическим интегрированием графиков моментов.

3. Строят график приведенного момента инерции звеньев , как на рис. 4.1, в. Так как решение проводится по методу Виттенбауэра, то оси координат этого графика повернуты на 90˚.

4. Методом исключения оси получают диаграмму энерго-масс (см. рис. 4.1, г).

5. Подсчитывают по формулам (4.11) значения тангенсов углов и .

6. Под вычисленными углами и сверху и снизу кривой Виттенбауэра проводят касательные и по формуле (4.12) или (4.13) определяют момент инерции маховика.

Недостатком метода является сложность построения диаграммы энерго-масс в виде замкнутой кривой линии, а также затруднения, связанные с приведением касательных.