2.5.7. Кинематика механизмов с двумя ведущими звеньями

В механических системах, которые принято называть манипуляторами, структурная схема построена таким образом, чтобы рабочие органы (захва­ты) были бы способны совершать разнообразные механические движения. Целесообразность движений подсказывается практикой перемещения транс­портируемого груза и его ориентацией в пространстве. Кинематические цепи таких механических систем могут быть открытыми.

Звенья механизма, к которым приложены движущие силы называют входными или ведущими. Количество ведущих звеньев, как правило, равно числу степеней свободы (подвижностей) механизма. В свою очередь и число обобщенных координат равно числу степеней свободы. Для механизма с жесткими звеньями, у которого n степеней свободы, всегда можно подобрать n обобщенных координат.

У механизма, показанного на рис 2.38, две обобщенные координаты φ, ψ по количеству степеней свободы. Однако это открытая кинематическая цепь, так как со стойкой связано только звено . В задачах кинематики по опре­делению положений звеньев таких механизмов, а также скоростей и ускоре­ний точек звеньев обычно используют векторный анализ [5].

Определим положение звеньев механизма в полярной системе координат.

K

K

O

φ

α

ψ

r

K

L

Рис. 2.38. Векторный анализ для механизма манипулятора с двумя степенями свободы

Положение точки К механизма будет полностью определено радиусом-вектором и углом α, как показано на рис. 2.38. Обозначим длины звеньев , и введем единичные векторы . Очевидно, что существует векторное равенство

(2.68)

Если равенство (2.68) возвести в квадрат, то для модуля радиуса-вектора получим следующее выражение:

(2.69)

Угловое положение α радиуса-вектора можно определить так:

(2.70)

Таким образом, положение точки К механизма в полярной системе коор­динат r (φ, ψ), α (φ, ψ) описывается с помощью двух обобщенных координат согласно выражений (2.69), (2.70).

Скорость для точки К есть изменение вектора во времени. Дифферен­цируя (2.68) получим:

(2.71)

где – угловая скорость звена OL,

– угловая скорость звена LK.

Частные производные от радиуса-вектора по обобщенным координа­там φ и ψ:

где – единичные векторы перпендикулярные звеньям механизма и на­правленные в сторону возрастания обобщенных координат (см. рис. 2.38).

Следовательно, модуль скорости точки К на основании (2.71) будет равен

Таким образом, чтобы определить скорость точки К необходимо иметь четыре независимых переменных V = V (φ, ψ, , ).

Дифференцируя вектор скорости (2.71) по времени, получим для абсо­лютного ускорения точки К механизма следующее выражение:

(2.72)

где , – угловые ускорения звеньев, имеющих соответствующие обобщен­ные координаты.

Частные производные от линейной скорости по обобщенной координате определяются следующим образом:

(2.73)

Частные производные от линейной скорости точки по угловым скоро­стям будут равны:

(2.74)

Подставив частные производные (2.73), (2.74) в выражение вектора уско­рений (2.72), получим:

(2.75)

где – единичные векторы, направленные вдоль звеньев (см. рис. 2.38).

Векторное написание (2.75) имеет физический смысл. Все переменные с единичными векторами являются касательными ускорениями в относи­тельном движении, а с векторами соответствуют нормальным составляю­щим относительных ускорений. Первые два члена формулы означают уско­рение точки L в относительном движении вокруг точки О.

В некоторых механизмах углы φ, ψ сами зависят от других независи­мых обобщенных координат. На рис. 2.39 показана структурная схема, в кото­рой присутствуют звенья OL и LK, как показано на рис. 2.38.

Однако ведущими звеньями в таких механизмах являются гидроцилинд­ры AB и CD. Такие механизмы применяют в экскаваторах, погрузчиках, стогометателях и других машинах.

L

D

A

C

O

K

B

ψ

φ

Рис. 2.39. Структурная схема механизма с ведущими гидроцилиндрами

Независимыми переменными в этих механизмах являются длины . Зависимость между φ = φ (s) была найдена ранее (см. формулу 2.63). Обычно стадии разгона и торможения в гидроцилиндрах много короче, чем движение с постоянной скоростью. Поэтому если принять то Под­ставив зависимость s (t) в формулу 2.63, получим зависимости φ(t) и ψ(t). Следует иметь в виду, что в каждом цилиндре имеет свое значение.

Допустим, что структурная схема (рис. 2.39) принадлежит экскаватору типа «обратная лопата». Тогда звено LK должно принадлежать ковшу, а звено OL рукояти. Механизмы рукояти и ковша каждый имеют независимые обобщен­ные координаты. На рис. 2.40, a показаны траектории движения точки К ковша при раздельной работе гидроцилиндров АВ и CD.

б

а

0

O

3

L

L

3

K

ψ

φ

2

2

O

O

1

K

ψ

1

φ

Рис. 2.40. Геометрическое место положений точки К

в системе с двумя степенями свободы:

а – при раздельном движении звеньев; б – при совместном движении по траектории 0-1

Участок траектории 0-1 относится к технологическому процессу копания ковшом. На участке 1-2 осуществляется перенос грунта с помощью рукояти. На участке 2-3 осуществляется просыпь грунта, а на 3-0 возврат ковша к мес­ту копания. На рис. 2.40, б возврат ковша с помощью рукояти и процесс копа­ния совмещены на участке 0-1, так как механическая система обладает двумя независимыми степенями свободы. Остальные операции повторяются.