2.5.5. Определение линейных скоростей и ускорений точек звеньев, а также угловых скоростей и угловых ускорений звеньев механизма

В данном разделе приводятся алгебраические формулы, которые позволяют упростить дифференцирование таблично заданных функций при решении задачи на ЭВМ.

Как было уже показано, с изменением положения ведущего звена изменяется и конфигурация звеньев механизма и, следовательно, изменяются координаты отдельных точек звеньев, а также угловые положения самих звеньев. В режиме установившегося движения повторяемость кинематических параметров соответствует углу поворота ведущего звена, чаще всего равному 2π, поэтому число положений звена N и шаг h связаны между собой: h = 2π/N.

Возьмем некоторое количество (k = 0, 1, 2,…, N) равностоящих друг от друга на величину h положений ведущего звена механизма: φ(k) = φ(0) + k • h.

При описании текущих значений координат точек звеньев и их угловых положений величину угла поворота φ(k) будем считать аргументом. Так будет образована дискретная последовательность значений некоторой непрерывной функции [11]. Например, для ординаты YS точки S звена описание YS(k) означает, что функция YS(k) имеет аргумент φ(k). Разности между соседними значениями функции для множества равноотстоящих значений аргумента на­зывают конечными разностями

(2.52)

Для упрощения записи в дальнейшем принадлежность ординаты Y к не­которой точке S опускается. Если разности составляются из самих конечных разностей, то их называют конечными разностями второго порядка

(2.53)

Аналогично можно образовать конечные разности, порядок которых выше второго. Например,

(2.54)

В данном случае конечные разности используются для определения про­изводных функций, заданных таблично. Для функции, дифференцируемой n раз, имеет место следующее соотношение между операторами разностей и дифференцирования:

Для практической реализации оператора D согласно принятым выше обозначениям получим для первой производной следующее алгебраическое выражение:

(2.54)

Для второй производной имеет место формула

(2.55)

Производные более высоких порядков могут быть получены из общей формулы, однако в данной работе они не используются. Используя формулы для численного дифференцирования, найдем, например, скорость точки S, координаты которой удовлетворяют описанию (2.42). Согласно конечной разности (2.52) для абсциссы XS имеем Конечные разности второго и более высоких порядков найдем по формулам, аналогичным (2.53), (2.54). Подставив значе­ния конечных разностей всех порядков в формулу (2.55), найдем проекцию аналога скорости DXS(k) на ось абсцисс X. Проекция аналога скорости на ось ординат DYS(k) находится аналогично. Численное значение аналога скорости в положении ведущего звена φ(k) находим по формуле

(2.56)

а значение скорости, согласно (2.35),

Угловое положение ax(k) вектора VS(k) по отношению к оси абсцисс X определяется через проекции аналогов скорости по следующей формуле:

(2.57)

Поскольку главные значения обратной тригонометрической функции arctg лежат в пределах от -π/2 до π/2, то для определения углового положения вектора скорости по отношению к оси абсцисс следует предусмотреть в про­грамме условный переход если проекция аналога скорости на ось X отрицательна, то есть В случае, если но то угловому положению вектора скорости следует присвоить значение

Ускорения точек звеньев определяются по зависимостям, аналогичным формуле (2.36). Для аналога ускорений точки S, используя формулу (2.56), получим Ускорение для точки Положение вектора ускорения, например, для той же точки S по отношению к оси абсцисс определяется углом

(2.58)

Условные переходы при определении положения вектора ускорения в программе подчиняются правилам, принятым ранее для определения поло­жений векторов скорости. Годографы скорости и ускорения точки звена по­могут пользователю контролировать численные значения. Следует помнить, что вектор ускорения направлен по касательной к годографу скорости.

При определении аналогов угловых скоростей и угловых ускорений не­обходимо использовать описание угловых положений звеньев. Например, для коромысла BD шарнирного четырехзвенника (см. рис.2.30) получим аналог угловой скорости

(2.59)

если продифференцируем по φ выражение (2.44). Для каждого положения ведущего звена φ(k) производные определяются из формулы (2.55). Чтобы получить аналоги угловых ускорений, необходимо воспользоваться формулой (2.56). Угловая скорость коромысла угловое ускорение

Таким образом, при численном дифференцировании определение линей­ных скоростей и ускорений точек звеньев, а также угловых скоростей и угло­вых ускорений звеньев сводится к определению их аналогов по фор­мулам (2.55), (2.56).

В качестве примера в табл. 2.3 приведены значения кинематических параметров для механизма показанного на рис. 2.35. Размеры звеньев даны в разделах 2.5.2 и 2.5.4, а координаты точек звеньев в табл. 2.1.

Таблица 2.3

Аналоги угловых и линейных скоростей звеньев по положениям ведущего звена

	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	360
	0,004	0,118	0,186	0,198	0,160	0,086	-0,003	-0,086	-0,151	-0,196	-0,196	-0,121	0,004
	0,100	0,081	0,057	0,050	0,067	0,088	0,098	0,091	0,070	0,050	0,067	0,097	0,100
	-0,167	-0,118	-0,054	0,014	0,081	0,136	0,162	0,147	0,087	-0,006	-0,112	-0,173	-0,167
	0,050	0,035	0,016	0,004	0,024	0,041	0,049	0,044	0,027	0,002	0,034	0,052	0,05
	0,165	0,119	0,055	-0,014	-0,081	-0,136	-0,166	-0,147	-0,089	0,006	0,112	0,173	0,165
	0,034	0,027	0,014	0,003	0,019	0,030	0,033	0,031	0,024	0,002	0,028	0,036	0,034
	0,007	0,016	0,010	0	-0,012	-0,016	-0,006	0,012	0,020	0,002	-0,020	-0,014	0,007

В табл. 2.3 приведены численные значения аналогов линейных и угловых скоростей в соответствии с обозначениями рис. 2.35. Чтобы получить скорости, необходимо, согласно (2.35) учесть угловую скорость ведущего звена.