Глава 1 Статические игры с полной информацией
1.1 Способы задания бескоалиционных игр
Основная часть курса будет посвящена теории бескоалиционных игр. Это ни в коей мере не означает, что отсутствует интерес экономистов к "некооперативному поведению". Напротив, в настоящее время заметен существенный интерес к попыткам объяснить, каким образом кооперация может возникнуть как результат поведения индивидов, преследующих свои цели. Наконец, есть целый ряд важных задач, где роль теории кооперативных игр весьма существенна. Им мы посвятим заключительную часть курса.
Теория бескоалиционных игр — это способ моделирования и анализа ситуаций, в которых оптимальные решения каждого участника (игрока) зависит от его представлений (или ожиданий) об игре его оппонентов. Как уже говорилось во введении, важнейшим моментом теории является акцент на то, что игроки не должны придерживаться произвольных представлений об игре своих оппонентов. Напротив, каждый игрок должен пытаться предсказать игру своих оппонентов, используя свои знания правил игры и исходя из предположений, что его оппоненты — сами рациональны, а потому пытаются сами также предсказать игру своих оппонентов и максимизировать свои собственные выигрыши.
Есть два способа задания игры. Первый — это позиционная форма5 игры. Позиционная форма задает: (1) порядок ходов, (2) "альтернативы" (выбор), доступные игроку тогда, когда наступает очередь его хода; (3) информация, которую игрок имеет на каждом из его ходов; (4) выигрыши (всех) игроков, как функцию выбранных ходов;(5) вероятностные распределения на множестве ходов Природы.
Позиционная форма представляется деревом игры, которое можно рассматривать как обобщение дерева принятия решений, используемое в теории принятия решений, на случай нескольких игроков. Формальное определение мы приведем в гл. 2. "Древесная структура" описывает, какая вершина следует за какой, какой игрок имеет ход, в соответствующей вершине. Информация, которую имеют игроки, описывается с помощью информационных множеств (см. рис. 1). Если две вершины лежат в одном информационном множестве, то это означает, что игрок (в данном случае 3) не может сказать, какое из двух действий (Л или П) в действительности произошло (в этом смысле игрок не различает вершины дерева, лежащие в одном информационном множестве).
Рис. 1. Информационные множества отмечены пунктиром.
1, 2, 3 — номера игроков, имеющих право хода (здесь не указаны выигрыши в концевых вершинах дерева).
На рисунках 2 и 3 изображены недопустимые информационные множества: информационные множества не могут пересекаться (не различая вершины одного информационного множества и вершины другого информационного множества, которое пересекается с первым, игрок тем самым не различает вершины, лежащие в объединении этих информационных множествах); в вершинах одного информационного множества — множества доступных игроку альтернатив должны совпадать (иначе игрок сможет различать вершины информационного множества, а стало быть, различать действия, предшествовавшие его ходу).
Рис 2 Рис.3.
Рис. 4. В концевых вершинах указаны выигрыши игроков.
Приведем элементарный пример. Рассмотрим следующую игру: первый игрок выбирает одну из трех цифр — 1,2 или 3. Затем второй игрок, не зная выбора первого игрока, также выбирает одну из трех цифр — 1, 2, 3. Если сумма выбранных цифр четна, то первый игрок выигрывает у второго один рубль (доллар, фунт ...). Если сумма — нечетная, то наоборот — выигрывает второй. Дерево соответствующей игры изображено на рис. 4.
На рис.5 изображена модификация этой игры, в которой второму игроку становится известно либо, что первый игрок выбрал цифру 2, либо, напротив, что цифру 2 он не выбрал.
Рис. 5.
Мы вернемся к позиционной форме в гл. 2 (поскольку в этой главе нас интересуют статические игры с полной информацией, для которых позиционная форма — это некоторое излишество), а теперь перейдем ко второй возможной форме представления игры — нормальной или стратегической форме, которая "суммирует" позиционную игру в трех элементах: множестве игроков I, множестве стратегий каждого игрока и функции выигрышей, ставящей в соответствие каждому набору стратегий игроков соответствующие выигрыши игроков.