1.15 Задачи

1. Какие стратегии в следующей игре, представленной в нормальной форме, выживают после последовательного исключения строго доминируемых стратегий? Найдите все равновесия по Нэшу.

2. Игроки I и II торгуются по поводу того, как поделить один доллар. Оба игрока одновременно называют доли, которые они бы хотели иметь, S1 и S2 , где 0  S1, S2  1 . Если S1 + S2  1 , то игроки получают названные доли; если S1 + S2 > 1 , то оба игрока ничего не получают. Каковы равновесия по Нэшу в этой игре?

3. Рассмотрим модель олигополии по Курно с n фирмами. Пусть Q объем произведенной продукции фирмой i и пусть Q = q1 + … + qn  общий объем продукции на рынке. Предположим, что функция обратного спроса имеет вид P(Q) = а  Q (для Q  а, иначе Р = 0 ). Полные затраты фирмы i на производство продукции в размере qi есть C(q_i) = сq_i, то есть постоянных затрат нет, а предельные затраты постоянны и равны с, причем с < а. Фирмы выбирают свои объемы производства одновременно. Найдите равновесие по Нэшу? Что будет происходить, если п стремится к бесконечности?

4. Рассмотрим следующий конечный вариант модели дуополии по Курно. Допустим, что каждая из фирм должна выбрать, производить ли половину монопольного объема продукции, q_m/2 = (а  с)/4 , либо равновесный по Курно объем, q_c = (а  с)/3 . Другие объемы производства в такой модели невозможны. Показать, что эта игра с двумя ходами эквивалентна дилемме Заключенного: каждая фирма имеет строго доминируемую стратегию и в равновесии обе фирмы оказываются в менее выгодном положении, нежели в ситуации, когда бы они выбрали сотрудничество (кооперацию).

1Далее мы будем ссылаться на эти книги без указания года издания.

2 В англоязычной литературе общепринятыми являются названия Industrial Organization или Industrial Economics. Соответствующие русские названия курсов — это уже упомянутая теория организации промышленности, структура отраслевых рынков, теория организации отраслевых рынков и другие. Здесь и далее мы будем в сносках указывать английские соответствия основным используемым понятиям.

3 (feasible outcomes)

4 Приложения кооперативных игр мы достаточно подробно рассмотрим в гл.6.

5 или расширенная форма — extensive form

6 normal form representation

7 В настоящей главе, в которой рассматриваются статические игры , то есть игры, в которых игроки ходят один раз, одновременно и независимо, стратегия игрока и его ход — это одно и то же. Принципиальная разница, как мы увидим ниже, возникает в динамическом случае.

8 Разумеется, в общем случае, мы не должны исключать случаи SПSi ; соответствующие "играм с запрещенными ситуациями". Однако мы здесь такие игры не рассматриваем.

9 common knowledge

10 mixed strategy

11 never a best response

12 razionalizable strategies

13 correlated equilibrium

14 ¹⁰Русский перевод статьи Гликсберга опубликован в сборнике "Бесконечные антагонистические игры (1963). Под ред. Н.Н.Воробьева. М.: Физматгиз. В русских переводах можно встретить две версии транскрипции Fan Ky: Фань Цзи (см., например, упомянутый выше сборник) и Ки Фань (см., например, Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988).

15 Многозначное отображение F называется полунепрерывным сверху (п.н.св.), если из х_п  х yF(x_n) , у_п  у следует уF(x) .

16 Вообще говоря, под исходом следует понимать полное описание "результата" игры: и выбранные стратегии и соответствующие выигрыши игроков и, возможно, какие-то другие атрибуты (например, объявление о том, что победил такой-то игрок X ). В данном случае мы имеем в виду победившую альтернативу.

17 Мы всегда будем ограничиваться рассмотрением лишь условия I порядка (в тех случаях, когда это необходимо), считая, что они определяют решение (не упоминая условия II , поскольку в тех ситуациях, которые мы будем рассматривать, это действительно, будет иметь место).

18 Вообще говоря, этот процесс можно рассматривать и без чередования ходов, когда каждая фирма на следующем шаге выбирает объем выпуска, как лучший ответ на предыдущий выбор конкурента (см., например, Fudenberg, Levine (1998)).

19 Normal form trembling hand perfect Hash equilibrium.

20 Р.Зельтен - лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 года.

73