§4.Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины

Под случайной величиной понимается такая величина, которая обладает некоторым множеством возможных значений, и какое значение примет эта величина в результате того или иного испытания предсказать невозможно.

В отличие от постоянной величины случайную величину недостаточно характеризовать только числовыми значениями. Необходимо знать еще вероятности появления этих значений.

События можно трактовать как частные случаи случайной величины. Любые события можно описать с помощью случайной величины.

Простой пример случайной величины – подброс монеты. Присвоим событию решка и событию герб числовые значения 1и 0 соответственно, каждое из событий имеет вероятность р равную ½.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами: Х, У

Значения случайных величин: х1, х2 ,…, хn; у1, у2, …, уn.

Поведение случайной величины задается с помощью закона распределения случайной величины.

Под законом распределения понимают соотношения между значениями случайной величины и вероятностями появления этих значений.

Пр.: пример про подброс монеты можно рассмотреть как закон распределения частной величины (т.к. задано соотношение величин).

Случайные величины подразделяются на дискретные (или прерывные) и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, множество значений которой не более чем счетно (счетное множество – множество эквивалентно, не более мощно, чем множество натуральных чисел)

Под непрерывной случайной величиной понимают такую случайную величину, множество значений которой более чем счетно (эквивалентно континууму (множеству точек эквивалентному множеству точек от плюс бесконечности до минус бесконечности)).

П.4.1. Способы(формы)задания законов распределения дискретной случайной величины

1. х	х1	х2	…	хn
   Р	р1	р2	…	рn

   Ряд (таблица) распределения (установление соответствия между появлением величины х и значениями вероятностей появления у):

n

Т.к. мы имеем дело с полной группой событий, то ∑ Рi = 1.

i=1

Пр.: 1) Пусть имеет место многократное повторное испытание n, результатом которого являются либо событие А, либо событие Ã с вероятностями р и q соответственно. Рассматривается величина k – возможное количество событий А.

k	0	1	2	…	n
P	Рn (0)	Рn (1)	Рn (2)	…	Рn (n)

Чтобы получить ряд распределения укажем вероятности появления Р:

k n n-k

Рn (k)= С р q ,

n

где n и k – коэффициенты

бинома Ньютона

В соответствии с 1 следствием из формулы Бернулли:

n

∑ Рn (k) = 1,

k=0

значит ряд распределения является случайной величиной, т.к. ∑ = 1.

Распределение для k в данном случае называется биноминальным.

2. Пусть имеет место схема испытаний, проводящихся до выполнения события А, т.е. случайной величиной является само количество испытаний.

Составим ряд распределения ля этого случая:

х	1	2	3	…	n
Р	p	qp	q²p	…	n-1 q p

р = Р(А)

qp = Р(Ã) *Р(А)

q²p = Р(Ã) * Р(Ã) *Р(А)

Найдем, чему равна сумма вероятностей в этом случае:

n-1 n-1 1 1

р + qp + q²p + … + q p + …= р*(1+ q + q²+…+q +…)= p 1-q = p p=1,

следовательно, данный ряд является рядом распределения, а само распределение называется гипергеометрическим.

2) Многоугольник распределение представляет собой графическое выражение ряда распределения. Таблица представляется графически: по оси абсцисс наносятся все возможные события, а по оси ординат вероятности их появления.

3) Функция распределения. С ее помощью можно задавать и дискретные, и непрерывные случайные величины (уникальный способ задания закона распределения).

Под функцией распределения случайной величины х понимается вероятность того, что данная случайная величина Х будет принимать значения меньшие некоторого фиксированного значения х.

Fx (x) = P(X<x) – вероятность попадания в эту область

х Х

Рассмотрим 3 свойства функции распределения:

1. F(-∞) =0 – вероятность попасть левее х=-∞ невозможно, следовательно, вероятность попасть левее равна нулю

Более строгая запись lim F (x) = 0

x→- ∞

Если Х є [A,B], то F(А)= 0

А В

F(А)= Р(Х<А) = 0 (т.к. А принимает минимальное значение х)

2. F(+∞) =1

Если Х є [A,B], то F(В+ε)= 1 = Р(Х< В+ε), где ε – любое, даже бесконечно малое, положительное число

3.Функция распределения является функцией неубывающей.

При х2>х1 F(х2) >= F(х1)

F(х1) F(х2)

х1 х2 Х

F(х2) включает в себя и F(х1), следовательно, F(х2)>= F(х1).

Пр.: 1) Пусть задан произвольный ряд распределения:

Х	-2	1	3	5
Р	0,3	0,1	0,3	0,3

Найдем функцию распределения в точках хi:

F(-2)= Р(Х< -2)=0

F(1)= Р(Х< 1)=0,3 F(3)= Р(Х< 3)=0,3+0,1=0,4 F(5)= Р(Х< 5)=0,3+0,1+0,3=0,7

Построим график функции распределения на основе данных точек. Получим разрывный график, величина скачка равна вероятности значения.