П.3.3. Вероятнейшее число появлений события а при
n-испытаниях.
Вероятнейшим числом k0 называется такое число появлений события А, при котором данная вероятность будет максимальна (т.е Рn(k0) = max).
Для примера про воздушные бои:
Для зеленых Р5(4)= 0,0064
Р5(5)=…
Р5(3)=…
Р5(2)=…
Р5(1)=…
Р5(0)= max, значит k0 =0.
Как правило, существует один максимум, но иногда два рядом стоящих числа в одинаковой вероятностью.
k0 k0 n-k0 k0-1 k0-1 n-k0+1
Условие max: Рn(k0) >= Рn(k0 - 1) Cn p q >= Cn p q
k0 k0 n-k0 k0+1 k0+1 n-k0-1
Рn(k0) >= Рn(k0 + 1) Cn p q >= Cn p q
После упрощения получаем неравенство для k0:
np – q <= k0 <= np + p
Левая и правая части неравенства отличаются на 1, т.к. p + q = 1.
Неравенство для k0 позволяет достаточно быстро определять вероятнейшее число еще до вычисления вероятностей.
Как правило k0 является целым числом, но если np – q и np + p принимают целые значения, то k0 имеет двойное значение.
Пр.: Для примера 1 (про воздушные бои)определим вероятнейшее число:
5*0,8 – 0,2 <= k0 <= 5*0,8 + 0,8
3,8<= k0 <= 4,8
Следовательно, k0 = 4, т.е. вероятность того, что из 5 боев 4 раза победят синие и 1 раз зеленые – наиболее вероятная ситуация.
2) Определить вероятность наиболее дождливой погоды в году, состоящем из 365 дней (n=365). Если средняя вероятность за много лет наблюдений Р=0,3.
365*0,3 – 0,7 <= k0 <= 365*0,3 + 0,3
108,8<= k0 <= 109,8
Следовательно, k0 = 109 - вероятнейшее число дождливых дней в году.
П.3.4. Формула полной вероятности
Рассмотрим ситуацию, когда событие А может появляться только совместно с одним из событий Н. при этом события Нi (их еще называют гипотезами) являются несовместными и образуют полную группу. В этих условиях требуется определить вероятность появления события А.
Н6
Н5
Н1
Н2
Н4
Н3
В
В
В
– область полной группы событий
(вероятность попадания в эту область =1)
А – некоторая область событий
Нi
– несовместные события (событие А
появляется
только с появлением Нi)
А= Н1А + Н2А + …+ НnА
Т.к. события Нi несовместны, то
используя теорему сложения получим:
n n
Р(А)= ∑ Р(НiА) = ∑ Р(Нi) Р(Аi/Нi) – формулу полной вероятности
i=0 i=0
Пр.: Пусть замдекана собирается наугад войти в одну из трех аудиторий и вызвать случайным образом студента или студентку.
Н1 - 1ая аудитория Н2 – 2ая аудитория Н3 - 3я аудитория
Замдекана случайно вошел в одну из аудиторий – гипотеза Нi, следовательно, Р(Нi)= ⅓.
События А – девушка;
à – юноша
Рассчитаем вероятность вызова девушки из 1ой, 2ой, 3ей аудитории: Р(А/Н1) = 15 = 0,6
25
Р(А/Н2) = 20 = 0,8
25
Р(А/Н3) = 7 = 0,28
25
Используя полученные данные, найдем вероятность вызова деканом девушки из любой из трех аудиторий:
Р(А) = Р(Нi) * (Р(А/Н1) + Р(А/Н2) + Р(А/Н3))
Р(А) = ⅓ * (0,6 + 0,8 + 0,28) = 0,56.