§3.Многократные повторные испытания. П.3.1. Формула Бернулли

Многократными повторными испытаниями называют n испытаний, в результате которых появляются било событие А, либо событие Ã.

Мы будем рассматривать самый простой случай, когда в каждом испытании вероятности появлений событий А и Ã не меняются и обозначим через р и q соответственно, причем р + q = 1.

Обычно требуется определить, что событие А при n – испытаний появится k-раз.

Рассмотрим возможные комбинации появления А и Ã при испытаниях. Пусть n=3 раза (количество испытаний). Перечислим все возможные комбинации появления А и Ã:

1 испытание ААА

2 испытание ÃАА

3 испытание АÃА

4 испытание ААÃ

5 испытание АÃÃ

6 испытание ÃАÃ

7 испытание ÃÃА

8 испытание ÃÃÃ

Общее число испытаний = 8

Общее число комбинаций (испытаний) определяется в данном случае

n

по формуле 2 , где 2 – количество событий (А и Ã), n – количество испытаний (n=8).

Количество комбинаций, где А присутствует ровно 1 или 2 раза, определяются как сочетания по формуле: k – число появлений события А

Сn – число испытаний

k

Вывод: количество комбинаций соответствует числу сочетаний из Сn

Рассмотрим вероятность появления комбинации ААÃ (в данной последовательности): Р(ААÃ) = p*p*q =p² *q

АА…А – k раз

ÃÃ…Ã – n-k раз

k n-k

Р = р * q

Рассмотрим вероятность появления трех комбинаций ( 2 – 4 испытание). Чтобы определить вероятность появления события А ровно 2 раза при 3-х испытаниях необходимо использовать теорему сложения, при этом следует учесть, что события ÃАА, АÃА, ААÃ являются несовместными.

Таким образом, вероятность появления события А 2 раза при 3-х испытаниях можно подсчитать по формуле:

2 2 2

Р3 = Р3 (2) = p² *q + p² *q + p² *q = 3p²q или Р3 = С3 p²q

В общем случае вроятность появления события А k-раз при n-испытаний подсчитывается по формуле Бернулли:

k k n-k

Рn(k) = Cn p q

П.3.2. Следствия из формулы Бернулли

n

1. Сумма вероятностей ∑ Рn (l) = 1

l=0

(можно использовать теорему сложения для несовместных событий; т.к. рассматриваем полную группу событий, то Р=1)

l

2. Рn(k<=l) = ∑ Рn (k)

k=0

0 1 2

Пр.: Р3 (k<=2) = Р3 + Р3 + Р3 = Р3 (0)+Р3 (1)+Р3 (2)

n

3. Рn(k>=l) = ∑ Рn (k)

k=l

Пр.: Р3 (k>=2) = Р3 (2)+ Р3 (3)

4. Рn(k<=l) = 1 - Рn(k>l)

Рn(k<=l) = 1 - Рn(k>=l) + Рn (l)

Примеры: 1) происходит 5 воздушных боев: синие против зеленых. Пусть при одном бое события А – победа синего р=Р(А)= 0,8

à – победа зеленого q= Р(Ã)= 0,2.

Определить вероятность события при 5 боях синий победит только 1 раз.

То есть требуется найти Р5(1).

1 1 4 4

Р5(1) = C5 p q = 5*0,8 * (0,2) = 0,0064