- •Основы теории вероятностей
- •§1.Основные понятия из теории вероятностей
- •П.1.1. Классификация событий
- •П1.2. Понятие вероятности
- •П.1.3. Классическая формула определения вероятности
- •§2.Теоремы сложения и вычитания п.2.1. Определения суммы и произведения
- •П.2.2. Теорема о сумме несовместных событий
- •П.2.3. Теорема умножения (зависимые и независимые события)
- •П.2.4. Теорема сложения для совместных событий
- •§3.Многократные повторные испытания. П.3.1. Формула Бернулли
- •П.3.2. Следствия из формулы Бернулли
- •П.3.3. Вероятнейшее число появлений события а при
- •П.3.4. Формула полной вероятности
- •§4.Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины
- •П.4.1. Способы(формы)задания законов распределения дискретной случайной величины
- •П.4.2. Вероятность попадания в интервал
- •П.4.3. Формы задания законов распределения для непрерывной случайной величины
П.2.3. Теорема умножения (зависимые и независимые события)
Теорема для зависимых событий: пусть имеются события А1 и А2. Пусть событию А1 благоприятствует k-шансов, а А2 - m-шансов, событию В – L-шансов. Число всех возможных исходов=N.
А1↔ k А2 ↔ m B ↔ L
L
Р(В)= N - выразим через Р (А1) и Р(А2)
L k L k L
Р(В)= N = N * k , N = Р(А1) k = Р(А1/А2)
Р(В)= Р (А1) * Р(А1/А2)
Р(А1/А2) – условная вероятность появления А2 при условии, что появилось событие А1.
Если событие А1 произошло, то число всех возможных исходов сократилось до k, а вероятность В осталась та же – L.
Пр.: 1)Пусть А1 – появление бубновой карты из колоды, А2 - появление туза. Следовательно, событие В-появление бубнового туза: В= А1 * А2.
Используя теорему умножения, получим:
Р(В)= Р(А1)* Р(А1/А2) = 1 1 = 1
4 * 9 36
2) Есть несколько карточек с буквами Ф Э У Т их перевернули и перемешали. Какова вероятность наугад вытянуть карточки в заданной последовательности?
Р(В)= Р(Ф) * Р (Э/Ф) * Р (У/ФЭ) * Р(Т/ФЭУ) = 1 * 1 * 1 * 1= 1
4 3 2 24
3) Если события независимы, то будем доставать карточку и класть обратно. В этом случае все события независимы друг от друга:
Р(А2) = Р(А2/А1) (безусловная вероятность равна условной вероятности)
Р(ФЭУТ)= 1 * 1 * 1 * 1 = 1
4 4 4 4 256
n n
Теорема для независимых событий: Р(С)= Р(∏ Аi ) = ∏ Р(Аi)
I=1 I=1
П.2.4. Теорема сложения для совместных событий
Пусть событие В (сложное событие, которое заключается в происхождении хотя бы одного события Аi) есть сумма n событий: В= А1+ А2+…+ Аn. В¯ - не произойдет ни одного из Аi событий, значит будут происходить и Ã1, и Ã2, и …Ãn, следовательно: В¯= Ã1 * Ã2 *…* Ãn
(А и Ã – 2 несовместных события, образующих одну полную группу)
Р(А+Ã) = Р(А) + Р(Ã)=1, следовательно: Р(Ãi) = 1- Р(Аi)
Р(В¯)= Р(Ã)*Р(Ã2/ Ã1)*…*Р(Ãn/ Ã1* Ã2 * …* Ãn-1)
Р(В)= 1 - Р(В¯)
n
Р(В)=1- ∏ Р(Ãi) – при условии, что все Аi независимые события
I=1
Пр.: По мишени произведено n выстрелов. Аi – попадание при i-ом выстреле, Ãi - промах. Определить вероятность попадания только один раз Р(В).
Аi - р n
Р(В)= 1- q - при условии, что события независимы
Ãi – 1-р=q и имеют одну и ту же вероятность появления