П1.2. Понятие вероятности

Под вероятностью принимается некоторая числовая или количественная мера, устанавливающая (определяющая) шансы появления того или иного события в определенных условиях.

Вероятность – характеристика, дающая численный показатель появления шансов того или иного события.

П.1.3. Классическая формула определения вероятности

Р(А) = М/N, здесь

Р(А) – вероятность появления события А;

N – число всех возможных исходов в данных условиях;

М – число исходов, благоприятствующих (соответствующих) событию А.

Пр.: 1)Рассмотрим урну с 3 черными и 2 белыми шарами, из которой достают наугад 1 шар. Найти вероятность, достать белый шар.

Р(А)= 2 = 2

2+3 5

2) Подбрасывают 2 игральные кости. Определить вероятность события А (сумма очков будет равна 8).

2+6=8

3+5=8 N=36 – возможных исходов

4+4=8

5+3=8 Р(А)= 5

6+2=8 36

M=8

Классическая формула работает только в условиях так называемой схемы случаев.

Под схемой случаев понимается совокупность несовместных равновозможных событий, которые образуют полную группу.

§2.Теоремы сложения и вычитания п.2.1. Определения суммы и произведения

Под суммой одного или нескольких событий ∑Аi понимается некоторое сложное событие В, которое заключается в появлении хотя бы одного из событий Аi.

n n

∑Аi = В ↔ U Аi = В (U - объединение)

i=1 i=1

Пр.: Производится n-выстрелов по мишени. Аi - количество поражений при i –ом выстреле.

n

∑Аi = В – должно произойти или событие А1 или А2 или Аn

i=1 или А1 А2 или А1 А3…

или А1 А2 А3… Аn

(хотя бы одно попадание)

Произведением двух или нескольких событий Аi называется сложное событие С, которое состоит в том, что все события Аi произойдут вместе.

n

∏ Аi = С ↔ ∩Аi = C (∩ - пересечение)

I=1

и А1 и А2…и Аn

Пр.: 1) Две группы одновременно находятся на занятии. Случайным образом преподаватель вызывает к доске несколько человек. Вызов человека из 1ой группы или из 2ой группы есть пустое произведение.

2) При стрельбе по мишени: попадание первым в стрелком в мишень - событие А1, а попадание в мишень вторым стрелком – событие А2. Попадание и одним стрелком, и вторым представляет собой пересечение или произведение: А1 * А2.

П.2.2. Теорема о сумме несовместных событий

Теорема: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство: Пусть событию А1 благоприятствует k-шансов, событию А2 – m-шансов. Всего существует N возможных вариантов. Найти вероятность суммы событий.

k m

Р(А1)= N; Р(А2)= N

k+m k m

Р(А1+А2)= N = N + N = Р(А1)+ Р(А2).

Пр.: пусть в урне находятся 2 белых, 1 черный, 1 красный, 2 зеленых и 3 синих шара. Достается 1 шар. Найти вероятность события В – появление цветного шара.

(Т.к. не может появиться 2 шара одновременно, то события несовместны.)

В= или красный(А1) или зеленый(А2) или синий(А3)

N=2+1+1+2+3=9

Р(В)= Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)= 1 + 2 + 3 = 1+2+3 = 6 = 2

9 9 9 9 9 3