Основы теории вероятностей
§1.Основные понятия из теории вероятностей
Теорией вероятностей называется математическая дисциплина, которая изучает случайные явления, устанавливает их закономерности при массовых проявлениях.
Случайным явлением – называют явление, предсказать которое заранее невозможно.
Все случайные явления проявляют закономерности, которые и изучает теория вероятностей.
В теории вероятностей принято одно наблюдение за случайным явлением называть опытом (экспериментом, испытанием).
Результатом любого испытания является событие.
Пр.: подброс монеты (2 события: орел или решка) – испытание орел или решка – 2 результата (исхода)
События обозначаются заглавными буквами: А, В,С;
или заглавными буквами с индексами: А1, А2, А3.
П.1.1. Классификация событий
Простые и сложные события
Простыми (элементарными) называются события, которые не могут быть разложены на другие события.
Сложными называются события, которые не могут быть разложены на другие события.
Пр.: А и В - сложные события:
А – бубновая масть: туз (А1), король (А2), дама (А3),…,шесть (А9);
В – остальные карты: туз вини (В1), туз черви (В2), туз крести (В3), король вини (В4),…, дама крести (В9),…, шесть крести (В27).
Зависимые и независимые события
Если первое событие влияет на шансы появления другого события, то такие события называются зависимыми.
Пр.: 1) Зависимые события А и В:
1ое событие: А (причина поступить в ВУЗ)
2ое событие: В (учеба в ВУЗе);
2) Зависимые события А, В и С:
во время войны чаще рождаются мальчики, следовательно:
война (событие А) влияет на рождение мальчиков (событие В) и на рождение девочек (событие С);
3) Независимые события D и Е:
К вокзалу подъехал тепловоз и сделал гудок (событие D) и в класс школы вошел учитель (событие Е).
Если первое событие не влияет на шансы появления другого события, то такие события называют независимыми.
Совместные и несовместные события
Первое определение. Совместными называются события, которые могут происходить вместе.
Несовместными называются события, которые не могут происходить вместе.
Пр.: 1) Несовместные события А и В:
подброс монеты: А – герб
В – решка;
2) Совместные события С и D:
из колоды карт вынимают: С – карту бубновой масти
D – туза;
(совместны, т.к. можно достать бубнового туза)
Второе определение. Совместными называются события, которые имеют область пересечения.
Если области пересечения нет, то события называются несовместными.
1
А – область масти буби
В
В – область туза
2 – туз буби (пересечение А и В)
Первое определение некорректно, т.к. в нем делается акцент на время. Это неверно – события могут происходить в разное время.
Пр.: Подбрасываются две монеты:
1 монета: 2 монета:
А - герб С - герб
В – решка D – решка
События А и С – совместны А и D – совместны
В и С – совместны В и D – совместны
4. Понятие противоположности событий
Два несовместных события, одно из которых обязательно должно произойти, называются противоположными.
à противоположно по отношению к А
Пр.: 1) подброс монеты: А – герб,
à – решка;
(т.к. эти два события несовместны и не могут не произойти);
2) промах или попадание в мишень при одном выстреле ( А и Ã);
5. Равновозможные и неравновозможные события
Равновозможные события имеют одинаковые шансы на появление.
Пр.: 1) спортлото – для каждого шара, участвующего в одном
розыгрыше, шансы равны;
2) при случайном выборе карты из колоды появление карты масти буби и туза неравновозможно, а появление карты масти черви и крести равновозможно;
3) при стрельбе шансы промаха и попадания неравны, т.к.
нельзя стрелять с одинаковой частотой, следовательно,
события неравновозможны.
6. Понятие полной группы событий
Под полной группой событий понимают совокупность событий, из которых хотя бы одно обязательно произойдет.
Два события, образующих полную группу называют противоположными событиями.
Пр.: 1) подбрасывают игральную кость (кубик с шестью гранями).
Рассмотрим события, при которых выпадает количество очков, удовлетворяющих условию событий:
А - К<=2
В - 1<=К<=4
С - К>=3
События В и С образуют полную группу.