Министерство образования и науки Самарской области Государственное

бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Тольяттинский политехнический техникум»

(ГБОУ СПО «ТПТ»)

Учебно-производственное отделение №4

Исследовательская работа

по дисциплине

Элементы математической логики

на тему

"Декартово произведение множеств"

Специальность 230115 «Программирование

в компьютерных системах»

Группа В-31

Студент И.С. Русяев

Руководитель проекта М.В.Кондурар

Тольятти, 2013

Содержание

Введение 3

1 Декартово произведение множеств 4

2 Отношение 6

3 Решение задач 8

Заключение 13

Список использованной литературы 14

Введение

Знание дискретной математики, «цифровое мышление» — необходимый элемент информационной культуры специалиста. Дискретная математика - раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов дискретного и (или) конечного характера, к которым могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, многие математические модели преобразователей информации. Все эти объекты и модели основываются на теоретико-множественных понятиях. Как отдельная учебная дисциплина в большинстве вузов Российской Федерации дискретная математика выделилась в 70-80-е годы XX в. Математическая логика — это логика, развиваемая математическим методом. Для нее характерно использование формальных языков с точным синтаксисом и четкой семантикой, однозначно определяющими понимание формул. Потребность в такой логике выявилась в начале XX в. в связи с интенсивной разработкой оснований математики, возникновением, уточнением понятия алгоритма и других вопросов математической науки. Значение математической логики для науки не исчерпывается ее математическими приложениями, поскольку рассуждать и доказывать приходится во всех науках. Поэтому математическая логика с полным правом может быть охарактеризована как логика на современном этапе. Математическая логика раньше являлась отдельным разделом дискретной математики. Только в конце XX в. в государственных образовательных стандартах даже «нематематических» специальностей она представляется как отдельная дисциплина.

В данной исследовательской работе, мы с вами познакомимся с Декартовым произведение множества. Изучим теорию, и рассмотрим пару примеров, и решений к ним.

1. Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А В. Таким образом,

А В = {(x;y) | x A, y B} (1)

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 1: Известно, что А В={(2, 3), (2, 5),    (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству  А, а вторая – множеству  В, то данные множества имеют следующий вид:  А={2, 3}, B={3, 5, 6}.

Пример 2: Перечислим элементы, принадлежащие множеству А В, если А={a, b, c, d}, B=A. Декартово произведение А В={(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)}.

Количество пар в декартовом прoизведении А В будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В:

n(А В)=n(A) n(B). (2)

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств А , А ,…, A  называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А , вторая – А , …, n-ая – множеству А: А А … A .

Пример 3: Пусть даны множества А ={2, 3}; А ={3, 4, 5}; A ={7, 8}. Декартово произведение А А А ={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7), (2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.

Декартовым квадратом множества А называют декартово произведение множества А на множество А (т.е. само на себя).

Степенью декартового произведения называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Замечание. Если все множества одинаковы, то используют обозначение

. (3)

Свойства декартова произведения: 1. (А  B) х C = (A х C)  (B х C), 2. (A  B) х C = (A х C)  (B х C), 3. (A\B) х C = (A х C) \ (B х C), 4. (X₁ х Y₂)  (Y₁ х X₂) = X₁ х X₂, если X_i  Y_i.