6 Контрольные вопросы
1) Какие аппараты называются тонкостенными?
2) Что называется оболочкой, срединной поверхностью? Почему расчет тонкостенных оболочек производится для срединной поверхности?
3) Что называется меридианом и параллелью оболочки?
4) Охарактеризуйте 1-й и 2-й главные радиусы кривизны оболочки?
5) Охарактеризуйте радиус кольцевого сечения оболочки и укажите его связь со 2-м главным радиусом.
6) Что является углом широты оболочки?
7) Какие существуют теории расчета тонкостенных оболочек? Почему они получили такие названия?
8) Какие делаются допущения при расчете тонкостенных оболочек? 9) Запишите уравнения Лапласа, равновесия зоны оболочки. Объясните их.
10) Охарактеризуйте геометрические параметры конических днищ.
11) Чему равны напряжения в конических днищах, шаровых и на полюсе эллиптических днищ?
12) Как экспериментально и теоретически определить меридиональные и кольцевые напряжения в цилиндрических обечайках?
13) Что влияет на напряженное состояние тонкостенных оболочек? 14) От чего зависит погрешность эксперимента?
Лабораторная работа № 2 Определение напряжений в плоских крышках и днищах под внутренним избыточным давлением
Плоские крышки и днища широко распространены в машиностроении и их можно рассматривать как тонкие пластинки, у которых толщина меньше 1/5 наименьшего размера основания. За наименьший размер основания у упругих пластинок принимают диаметр, у прямоугольных – меньшую сторону, у эллиптических – меньшую ось эллипса и т. д.
Под действием внешних нагрузок в плоских крышках и днищах одновременно могут возникать как напряжение изгиба, так и напряжения растяжения или сжатия, которые еще называются мембранными напряжениями. В зависимости от характера напряженного состояния и величины прогиба тонкие пластинки могут подразделяться на жесткие, гибкие и мембранные. Для жестких пластинок характерно преобладание изгибных напряжений, а их прогиб не превышает 1/4 толщины пластинки. У гибких пластинок изгибные и мембранные напряжения сравнимы, а прогиб изменяется в пределах от 1/4 толщины до 5 толщин. И, соответственно, у мембран преобладают мембранные напряжения, и прогиб превышает 5 толщин пластинки. При расчетах плоские днища, крышки, фланцы и т.д. рассматриваются как жесткие пластинки. Форма днища бывает эллиптической, конической, полушаровой и плоской.
1 Цель работы
Теоретически и экспериментально определить напряжения, действующие на поверхности плоской крышки и плоского днища, для заданных значений внутреннего давления, сравнить экспериментальные значения с расчетными и определить процент отклонения.
2 Содержание работы
Расчет напряжений в плоских круглых крышках или днищах ведется согласно теории тонких пластинок, по которой общие уравнения круглых пластинок, нагруженных симметрично, записываются в дифференциальной форме:
(2.1)
(2.2)
Уравнения изгибающихся моментов записывается в виде:
(2.3)
(2.4)
где Mr
– радиальный момент, отнесенный к
единице длины; Mt
– кольцевой момент, отнесенный к единице
длины, φ
- угол поворота нормали к срединной
поверхности; W
– прогиб
пластинки на некотором радиусе окружности;
r
– текущий радиус;
- цилиндрическая жесткость пластины;
Е
– модуль упругости первого рода;
- толщина пластинки;
- коэффициент Пуассона; Q
– перерезывающая сила.
Уравнения (2.1) и (2.2) называются уравнениями углов поворота нормалей и прогибов пластинки в дифференциальной форме.
Так как способ закрепления крышки или днища по краям (рис. 2.1) влияет на величину и характер распределения этих напряжений, то конструктивную схему можно свести к шарнирной (рис. 2.2) или жестко защемленной (рис. 2.3).
Рис. 2.1.
Рис. 2.2. Рис. 2.3.
В действительности же будет иметь место промежуточный случай, тo есть упругая заделка края. Для определения перерезающей силы, независимо от способа заделки края крышки или днища, уравнение равновесия центральной части крышки радиуса r (рис. 2.4) запишется в виде:
.
(2.5)
Откуда:
. (2.6)
Рис. 2.4.
Подставив значение Q в уравнение (2.1) и дважды проинтегрировав его, получим:
(2.7)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования.
Постоянная
интегрирования С2
определяется из условия, что в
центре
крышки или днища при
,
а это возможно только в том случае, когда
С2=0
в уравнении (2.7). Следовательно, уравнение
(2.7) можно представить в виде:
(2.8)
Постоянная
С1
интегрирования
определяется
из второго граничного условия при
и
зависит от способа закрепления
крышки по
контуру.
Для
жесткозащемленного
случая
когда при
,
,
из уравнения
(2.8) имеем, что
.
Тогда уравнение (2.8) перепишется:
(2.9)
Для
шарнирного закрепления
при
радиальный
момент
и из уравнения (2.3) имеем:
(2.10)
Подставим
в уравнение (2.10) значение угла поворота
нормалей к срединной поверхности
из уравнения (2.8) и производную
,
а
затем, решим его относительно С1.
(2.11)
С учетом выражения (2.11) уравнение (2.8) для шарнирного закрепления перепишется:
(2.12)
Подставив в уравнения (2.3), (2.4) значения из выражений (2.9), (2.12), получим уравнения для определения величины изгибающих моментов Мr и Мt в зависимости от способа заделки, крышки или днища:
для жесткого защемления:
(2.13)
,
для шарнирной заделки:
(2.14)
.
Нормальные радиальные и кольцевые напряжения, действующие на поверхности плоской крышки или днища, найдутся в общем виде как
(2.15)
(2.16)
Тогда, в зависимости от способа закрепления крышки или днища по контуру, выражения (2.15), (2.16) с учетом (2.13), (2.14) перепишутся в виде:
для жесткого
защемления:
(2.17)
(2.18)
для шарнирной
заделки:
(2.19)
(2.20)