Розв’язання типового практичного завдання.

Відомі наступні дані (умовні) по економіці країни (табл. 8.3):

Таблиця 8.3. Обсяги експорту та валового внутрішнього продукту (ВВП) по умовній країні за 1999 – 2006 роки.

(млн. дол. США)

Роки	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Експорт	170	172	190	187	200	207	194	210
ВВП	1500	1530	1525	1550	1570	1612	1598	1627

Обчисліть: 1) коефіцієнт лінійної кореляції між ВВП та обсягом експорту; 2) параметри лінійного рівняння регресії (без врахування фактора часу); 3) точковий прогноз експорту на 2007 рік, якщо ВВП на 2007 рік прогнозується у обсязі 1646 млн. дол.

Розв’язання:

1. для розв’язання завдання побудуємо допоміжну таблицю 8.4.

Таблиця 8.4. Допоміжна таблиця для обчислення параметрів рівняння регресії

Рік	Експорт (у)	ВВП (х)	у2	х2	ХУ
1999	170	1500	28900	2250000	255000
2000	172	1530	29584	2340900	263160
2001	190	1525	36100	2325625	289750
2002	187	1550	34969	2402500	289850
2003	200	1570	40000	2464900	314000
2004	207	1612	42849	2598544	333684
2005	194	1598	37636	2553604	310012
2006	210	1627	44100	2647129	341670
Разом	1530	12512	294138	19583202	2397126
Середні	191,25	1564,0	36767,25	2447900,25	299640,75

2) обчислимо лінійний коефіцієнт кореляції

Значення r більші від 0,700 означають тісний зв’язок між ознаками, значить між обсягами валового внутрішнього продукту та експорту є прямий (так як r позитивний) і тісний зв’язок.

3) обчислимо параметри лінійного рівняння регресії. Обчислення проведемо спрощено, використавши зв'язок між параметром b та лінійним коефіцієнтом кореляції:

4) запишемо рівняння регресії

= a + bx

= – 264,3 + 0,291х

5) обчислимо прогноз обсягів експорту на 2007 рік

= – 264,3 + 0,291 * 1646

215 млн. дол.

Отже, експортна можливість країни на 2007 рік при обсязі ВВП в 1646 млн. дол. прогнозується у розмірі 215 млн. дол.

8.4. Перевірка нульових гіпотез про вплив якості товару на обсяги зовнішньоторговельного обороту

Статистична гіпотеза – це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності, яке можна перевірити за даними вибіркового спостереження.

Гіпотеза яку потрібно перевірити формулюється як твердження, що між параметром генеральної сукупності G і певною величиною a (взятою для перевірки гіпотези) розбіжностей немає. Така гіпотеза називається нульовою і записується: Н_о: G = a.

Кожній нульовій гіпотезі протиставляють альтернативну (конкуруючу) гіпотезу. В залежності від одержаних вибіркових даних і вагомості їх відхилень від заданого a альтернативну гіпотезу можна формулювати так:

1) параметри генеральної сукупності більші від певного числа a

Н_а: G > a ;

2) параметри генеральної сукупності менші від певного числа a

Н_а: G < a ;

2. параметри генеральної сукупності не дорівнюють певному числу a

Н_а: G a

Перші два твердження вимагають односторонньої перевірки гіпотези (використовується односторонній t – критерій), а останнє – вимагає двосторонньої перевірки, що збільшує ймовірність прийняття саме нульової гіпотези.

Перевірка гіпотез пов’язується з ризиком двох видів:

1. перевірка нульової гіпотези приводить до її відхилення, тоді як насправді вона була вірною;

2. перевірка нульової гіпотези підтверджує її вірність, але насправді вона помилкова.

Показник, за яким нульова гіпотеза приймається або відхиляється називається статистичним критерієм. Для перевірки найчастіше використовують t – критерій Ст’юдента, табличні (критичні) значення якого обчислені і друкуються в спеціальних таблицях для різних рівнів істотності та числа ступенів вільності k, яке залежить від чисельності вибіркової сукупності. Для однієї вибіркової сукупності k = n – 1, а для двох вибірок, що порівнюються між собою k = n₁ + n₂ – 2. Для перевірки нульових гіпотез за малими вибірками (менше 30 одиниць) використовується виключно t – критерій Ст’юдента

Рівнем істотності називається таке дуже мале значення ймовірності потрапляння розрахункового критерію до критичної області значень при умові справедливості нульової гіпотези, що поява цієї події оцінюється вже як неспівпадання висунутої нульової гіпотези і даних проведеної вибірки, що дозволяє відхилити Н_о. Тобто, числом задають ймовірну помилку твердження про вірність чи невірність висунутої гіпотези. Критичною областю значень t – критерію вважається область значень більших від t – табличного (критичного). Тому якщо /t – розрахункове/ > t – табличного, то нульова гіпотеза відхиляється з деякою ймовірністю можливої помилки, що дорівнює .

Чим менше ми вибрали, тим менша ймовірність ризику першого виду, але при цьому збільшується область допустимих значень і підвищується ймовірність ризику другого виду.

Для великих вибірок (чисельністю більше 30 одиниць) t – критерій можна брати за таблицями нормованої функції Лапласа. Самими вживаними критичними значеннями t – критерію в такому випадку є:

	При = 0,05	При = 0,01
Односторонній	1,64	2,33
Двосторонній	1,96	2,58

Для перевірки гіпотези про рівність двох середніх розрахунковий t – критерій обчислюють за формулою

, (8.15)

де та - вибіркові середні, про рівність яких перевіряється нульова гіпотеза:

- середня із внутрішньогрупових дисперсій 1 та 2 вибіркових груп, = , (8.16)

де n₁ та n₂ – це кількість одиниць, відібраних у 1 та 2 вибіркові групи.

Якщо перевіряється гіпотеза про рівність генеральної середньої та певного стандартного (еталонного) показника, формула для обчислення t – критерію приймає вид:

, (8.17)